Номер 293, страница 139 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

293. Дан треугольник с вершинами $A(-2; 0)$, $B(2; 4)$ и $C(4; 0)$. Составьте уравнения прямых, содержащих медианы этого треугольника.

Дано:

Вершины треугольника:

$A(-2; 0)$

$B(2; 4)$

$C(4; 0)$

Найти:

Уравнения прямых, содержащих медианы треугольника.

Решение:

Для определения уравнения медианы, проходящей через одну вершину, необходимо найти координаты середины противоположной стороны. Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Формула для нахождения середины отрезка с концами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ следующая: $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$.

Найдем координаты середин каждой из сторон:

Середина стороны $BC$ (обозначим $M_A$):

$x_{M_A} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_{M_A} = \frac{4 + 0}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, $M_A(3; 2)$.

Середина стороны $AC$ (обозначим $M_B$):

$x_{M_B} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_{M_B} = \frac{0 + 0}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Таким образом, $M_B(1; 0)$.

Середина стороны $AB$ (обозначим $M_C$):

$x_{M_C} = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_{M_C} = \frac{0 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, $M_C(0; 2)$.

Теперь составим уравнения прямых, содержащих медианы. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Медиана $AM_A$

Медиана $AM_A$ проходит через точки $A(-2; 0)$ и $M_A(3; 2)$.

$\frac{x - (-2)}{3 - (-2)} = \frac{y - 0}{2 - 0}$

$\frac{x + 2}{5} = \frac{y}{2}$

$2(x + 2) = 5y$

$2x + 4 = 5y$

$2x - 5y + 4 = 0$

Уравнение также можно записать в виде с угловым коэффициентом:

$5y = 2x + 4$

$y = \frac{2}{5}x + \frac{4}{5}$

Ответ: $2x - 5y + 4 = 0$ или $y = \frac{2}{5}x + \frac{4}{5}$

Медиана $BM_B$

Медиана $BM_B$ проходит через точки $B(2; 4)$ и $M_B(1; 0)$.

$\frac{x - 2}{1 - 2} = \frac{y - 4}{0 - 4}$

$\frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 4}{-4}$

$-4(x - 2) = -1(y - 4)$

$-4x + 8 = -y + 4$

$4x - y - 4 = 0$

Уравнение также можно записать в виде с угловым коэффициентом:

$y = 4x - 4$

Ответ: $4x - y - 4 = 0$ или $y = 4x - 4$

Медиана $CM_C$

Медиана $CM_C$ проходит через точки $C(4; 0)$ и $M_C(0; 2)$.

$\frac{x - 4}{0 - 4} = \frac{y - 0}{2 - 0}$

$\frac{x - 4}{-4} = \frac{y}{2}$

$2(x - 4) = -4y$

$2x - 8 = -4y$

Разделим обе части на 2:

$x - 4 = -2y$

$x + 2y - 4 = 0$

Уравнение также можно записать в виде с угловым коэффициентом:

$2y = -x + 4$

$y = -\frac{1}{2}x + 2$

Ответ: $x + 2y - 4 = 0$ или $y = -\frac{1}{2}x + 2$