Номер 296, страница 139 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

296. Составьте уравнение линии, которой принадлежат все точки, такие, что разность квадратов расстояний от них до точек $A(1; 0)$ и $B(-1; 2)$ равна 1.

Дано
Точка $A(1; 0)$
Точка $B(-1; 2)$
Разность квадратов расстояний от точки $M(x; y)$ до $A$ и $B$ равна 1: $d(M, A)^2 - d(M, B)^2 = 1$

Перевод данных в систему СИ: Координаты точек не требуют перевода в систему СИ.

Найти
Уравнение линии, которой принадлежат все такие точки $M$.

Решение
Пусть $M(x; y)$ — произвольная точка искомой линии.
Расстояние в квадрате от точки $M$ до точки $A(1; 0)$ вычисляется по формуле:
$d(M, A)^2 = (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x - 1)^2 + y^2$
Расстояние в квадрате от точки $M$ до точки $B(-1; 2)$ вычисляется по формуле:
$d(M, B)^2 = (x - x_B)^2 + (y - y_B)^2 = (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = (x + 1)^2 + (y - 2)^2$
Согласно условию задачи, разность квадратов этих расстояний равна 1:
$d(M, A)^2 - d(M, B)^2 = 1$
Подставим выражения для квадратов расстояний:
$(x - 1)^2 + y^2 - ((x + 1)^2 + (y - 2)^2) = 1$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$(x^2 - 2x + 1) + y^2 - ((x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4)) = 1$
Уберем внутренние скобки:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - (x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4) = 1$
Раскроем внешние скобки, меняя знаки на противоположные для всех слагаемых внутри:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - x^2 - 2x - 1 - y^2 + 4y - 4 = 1$
Приведем подобные слагаемые. Члены $x^2$, $-x^2$, $y^2$, $-y^2$, $1$ и $-1$ взаимно уничтожаются:
$-2x - 2x + 4y - 4 = 1$
$-4x + 4y - 4 = 1$
Перенесем константу из правой части в левую:
$-4x + 4y - 4 - 1 = 0$
$-4x + 4y - 5 = 0$
Для удобства можно умножить все уравнение на $-1$:
$4x - 4y + 5 = 0$

Ответ:
Уравнение линии: $4x - 4y + 5 = 0$.