Номер 300, страница 142 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

300. Какие из следующих уравнений являются уравнением окружности:

а) $x^2 + y^2 = -9$;

б) $x^2 + y^2 = 25$;

в) $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 7$;

г) $(x - 2)^2 + y = 16$;

д) $x^2 + y^2 - 2(x + y) = 2?$

а)

Дано: $x^2 + y^2 = -9$

Найти: Является ли данное уравнение уравнением окружности?

Решение: Общий вид уравнения окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ – координаты центра окружности, а $R$ – ее радиус. Для того чтобы уравнение описывало окружность, квадрат радиуса $R^2$ должен быть строго положительным числом, $R^2 > 0$. В данном уравнении правая часть равна $-9$, что соответствует $R^2 = -9$. Так как квадрат радиуса не может быть отрицательным числом, это уравнение не является уравнением окружности.

Ответ: Нет, не является.

б)

Дано: $x^2 + y^2 = 25$

Найти: Является ли данное уравнение уравнением окружности?

Решение: Данное уравнение может быть переписано как $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$. Оно соответствует общему виду уравнения окружности $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $a = 0$, $b = 0$, и $R^2 = 25$. Поскольку $R^2 = 25 > 0$, это уравнение является уравнением окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: Да, является.

в)

Дано: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 7$

Найти: Является ли данное уравнение уравнением окружности?

Решение: Данное уравнение имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $a = 3$, $b = -2$ (так как $(y + 2)^2 = (y - (-2))^2$), и $R^2 = 7$. Поскольку $R^2 = 7 > 0$, это уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(3, -2)$ и радиусом $R = \sqrt{7}$.

Ответ: Да, является.

г)

Дано: $(x - 2)^2 + y = 16$

Найти: Является ли данное уравнение уравнением окружности?

Решение: Общий вид уравнения окружности требует, чтобы переменные $x$ и $y$ были возведены во вторую степень: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. В данном уравнении переменная $y$ находится в первой степени, а не во второй. Это уравнение описывает параболу, а не окружность.

Ответ: Нет, не является.

д)

Дано: $x^2 + y^2 - 2(x + y) = 2$

Найти: Является ли данное уравнение уравнением окружности?

Решение: Преобразуем данное уравнение, раскрыв скобки и сгруппировав члены с $x$ и $y$ для выделения полных квадратов:$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2$$(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) = 2$Дополним до полных квадратов, добавив 1 к членам с $x$ и 1 к членам с $y$. Чтобы уравнение оставалось верным, мы должны добавить эти же значения к правой части:$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 2 + 1 + 1$$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$Это уравнение имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $a = 1$, $b = 1$, и $R^2 = 4$. Поскольку $R^2 = 4 > 0$, это уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(1, 1)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: Да, является.