Номер 305, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

305. Составьте уравнение окружности, описанной около:

a) прямоугольного треугольника ABC с вершинами в точках $A(0; 16)$, $B(12; 0)$, $C(0; 0)$;

б) равностороннего треугольника NMK, координаты вершин которого равны $N(-3\sqrt{3}; 0)$, $M(0; 9)$, $K(3\sqrt{3}; 0)$.

а) прямоугольного треугольника ABC с вершинами в точках A(0; 16), B(12; 0), C(0; 0)

Дано

Вершины треугольника: $A(0; 16)$, $B(12; 0)$, $C(0; 0)$

Найти

Уравнение окружности, описанной около треугольника ABC.

Решение

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2$, где $(h, k)$ - координаты центра окружности, а $R$ - ее радиус.

Определим, является ли треугольник ABC прямоугольным. Для этого вычислим квадраты длин сторон, используя формулу расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:

$AC^2 = (0 - 0)^2 + (16 - 0)^2 = 0^2 + 16^2 = 256$

$BC^2 = (12 - 0)^2 + (0 - 0)^2 = 12^2 + 0^2 = 144$

$AB^2 = (12 - 0)^2 + (0 - 16)^2 = 12^2 + (-16)^2 = 144 + 256 = 400$

Проверим выполнение теоремы Пифагора: $AC^2 + BC^2 = 256 + 144 = 400$. Поскольку $AC^2 + BC^2 = AB^2$, треугольник ABC является прямоугольным, и прямой угол находится при вершине C. Гипотенузой является сторона AB.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, а радиус равен половине длины гипотенузы.

Найдем координаты центра окружности $(h, k)$ как середину отрезка AB:

$h = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + 12}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$k = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{16 + 0}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Итак, центр окружности $O(6; 8)$.

Найдем радиус окружности $R$, который равен половине длины гипотенузы AB:

$R = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \sqrt{AB^2} = \frac{1}{2} \sqrt{400} = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$

Теперь подставим найденные значения центра и радиуса в уравнение окружности:

$(x - 6)^2 + (y - 8)^2 = 10^2$

$(x - 6)^2 + (y - 8)^2 = 100$

Ответ: $(x - 6)^2 + (y - 8)^2 = 100

б) равностороннего треугольника NMK, координаты вершин которого равны N(-3$\sqrt{3}$; 0), M(0; 9), K(3$\sqrt{3}$; 0)

Дано

Вершины треугольника: $N(-3\sqrt{3}; 0)$, $M(0; 9)$, $K(3\sqrt{3}; 0)$

Найти

Уравнение окружности, описанной около треугольника NMK.

Решение

Для равностороннего треугольника центр описанной окружности (центр тяжести или центроид) находится как среднее арифметическое координат его вершин.

Найдем координаты центра окружности $(h, k)$:

$h = \frac{x_N + x_M + x_K}{3} = \frac{-3\sqrt{3} + 0 + 3\sqrt{3}}{3} = \frac{0}{3} = 0$

$k = \frac{y_N + y_M + y_K}{3} = \frac{0 + 9 + 0}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Итак, центр окружности $O(0; 3)$.

Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра до любой из вершин треугольника. Возьмем вершину M$(0; 9)$:

$R = \sqrt{(x_M - h)^2 + (y_M - k)^2}$

$R = \sqrt{(0 - 0)^2 + (9 - 3)^2}$

$R = \sqrt{0^2 + 6^2}$

$R = \sqrt{36}$

$R = 6$

Теперь подставим найденные значения центра и радиуса в уравнение окружности $(x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2$:

$(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 6^2$

$x^2 + (y - 3)^2 = 36$

Ответ: $x^2 + (y - 3)^2 = 36$