Вопросы, страница 146 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Как определяют синус, косинус, тангенс и котангенс углов от 0° до 180°?

2. Докажите, что каждому значению угла от 0° до 180° соответствует только одно значение его:
а) синуса;
б) косинуса. Верны ли обратные утверждения?

3. Верно ли, что с возрастанием угла его синус возрастает, а косинус убывает?

4. Какие тригонометрические тождества вы знаете? Какое из них называется основным тригонометрическим тождеством?

1. Как определяют синус, косинус, тангенс и котангенс углов от 0° до 180°?

Тригонометрические функции углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ можно определить с помощью единичной окружности (окружности с радиусом 1 и центром в начале координат) или с помощью прямоугольного треугольника и расширения для тупых углов.

Пусть $\alpha$ — угол, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки. Пусть $P(x; y)$ — точка на единичной окружности, соответствующая углу $\alpha$.

Синус угла $\alpha$ ($\sin \alpha$) — это ордината ($y$-координата) точки $P(x; y)$ на единичной окружности.
Формула: $\sin \alpha = y$.

Косинус угла $\alpha$ ($\cos \alpha$) — это абсцисса ($x$-координата) точки $P(x; y)$ на единичной окружности.
Формула: $\cos \alpha = x$.

Тангенс угла $\alpha$ ($\tan \alpha$) — это отношение синуса угла к его косинусу.
Формула: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y}{x}$. Тангенс определен для всех углов, кроме тех, для которых $\cos \alpha = 0$, то есть для $\alpha = 90^\circ$.

Котангенс угла $\alpha$ ($\cot \alpha$) — это отношение косинуса угла к его синусу.
Формула: $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{y}$. Котангенс определен для всех углов, кроме тех, для которых $\sin \alpha = 0$, то есть для $\alpha = 0^\circ$ и $\alpha = 180^\circ$.

Ответ: Синус, косинус, тангенс и котангенс углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ определяются через координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу, или как отношения сторон в прямоугольном треугольнике, с последующим обобщением на тупые углы.

2. Докажите, что каждому значению угла от 0° до 180° соответствует только одно значение его: а) синуса; б) косинуса. Верны ли обратные утверждения?

Доказательство того, что каждому значению угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ соответствует только одно значение его синуса и косинуса, основывается на определении функции. По определению, синус и косинус являются функциями угла. Это означает, что для каждого допустимого входного значения (угла) существует ровно одно выходное значение (значение функции).

а) синуса: Пусть дан угол $\alpha \in [0^\circ, 180^\circ]$. Этот угол однозначно определяет луч, исходящий из начала координат и проходящий через точку $P(x; y)$ на единичной окружности. Поскольку эта точка $P$ единственна, её $y$-координата (которая по определению является $\sin \alpha$) также единственна. Следовательно, каждому углу из указанного промежутка соответствует только одно значение синуса.

б) косинуса: Аналогично, для данного угла $\alpha \in [0^\circ, 180^\circ]$, точка $P(x; y)$ на единичной окружности является единственной. Её $x$-координата (которая по определению является $\cos \alpha$) также единственна. Следовательно, каждому углу из указанного промежутка соответствует только одно значение косинуса.

Верны ли обратные утверждения? Обратные утверждения заключаются в следующем: если дано значение синуса или косинуса, то соответствует ли ему только одно значение угла в промежутке $[0^\circ, 180^\circ]$?

Для синуса: Нет, обратное утверждение неверно. Например, $\sin 30^\circ = 0.5$ и $\sin 150^\circ = 0.5$. Оба угла $30^\circ$ и $150^\circ$ находятся в промежутке $[0^\circ, 180^\circ]$, но имеют одно и то же значение синуса. Для любого значения $\sin \alpha \in (0, 1]$, будет два таких угла в данном промежутке (за исключением $\sin 90^\circ = 1$, где угол $90^\circ$ единственный). Если $\sin \alpha = 0$, то $\alpha = 0^\circ$ или $\alpha = 180^\circ$ (два угла).

Для косинуса: Да, обратное утверждение верно. Для любого значения $\cos \alpha \in [-1, 1]$, существует только одно значение угла $\alpha$ в промежутке $[0^\circ, 180^\circ]$. Это связано с тем, что функция косинуса является строго убывающей на интервале $[0^\circ, 180^\circ]$: если $\alpha_1 \neq \alpha_2$ и $\alpha_1, \alpha_2 \in [0^\circ, 180^\circ]$, то $\cos \alpha_1 \neq \cos \alpha_2$.

Ответ: Каждому углу от $0^\circ$ до $180^\circ$ соответствует только одно значение синуса и косинуса. Обратное утверждение верно для косинуса, но неверно для синуса.

3. Верно ли, что с возрастанием угла его синус возрастает, а косинус убывает?

Рассмотрим поведение синуса и косинуса на интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$.

Для синуса:
При возрастании угла от $0^\circ$ до $90^\circ$, синус угла возрастает от $0$ до $1$.
При возрастании угла от $90^\circ$ до $180^\circ$, синус угла убывает от $1$ до $0$. Таким образом, утверждение "с возрастанием угла его синус возрастает" неверно для всего интервала $[0^\circ, 180^\circ]$, так как на второй половине интервала ($90^\circ$ до $180^\circ$) синус убывает.

Для косинуса:
При возрастании угла от $0^\circ$ до $90^\circ$, косинус угла убывает от $1$ до $0$.
При возрастании угла от $90^\circ$ до $180^\circ$, косинус угла убывает от $0$ до $-1$. Таким образом, утверждение "с возрастанием угла его косинус убывает" верно для всего интервала $[0^\circ, 180^\circ]$.

Ответ: Утверждение частично неверно. С возрастанием угла синус возрастает только от $0^\circ$ до $90^\circ$, а затем убывает от $90^\circ$ до $180^\circ$. Косинус же действительно убывает на всем интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$.

4. Какие тригонометрические тождества вы знаете? Какое из них называется основным тригонометрическим тождеством?

Существует множество тригонометрических тождеств, связывающих тригонометрические функции. Вот некоторые из наиболее часто используемых:

1. Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

2. Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (при $\cos \alpha \neq 0$) $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (при $\sin \alpha \neq 0$)

3. Взаимные тождества: $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$ (при $\sin \alpha \neq 0, \cos \alpha \neq 0$) $\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$ (косеканс, при $\sin \alpha \neq 0$) $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$ (секанс, при $\cos \alpha \neq 0$)

4. Другие часто используемые тождества: $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \sec^2 \alpha$ (при $\cos \alpha \neq 0$) $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \csc^2 \alpha$ (при $\sin \alpha \neq 0$)

Из перечисленных, основным тригонометрическим тождеством называется $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Оно является фундаментальным, так как следует непосредственно из определения синуса и косинуса на единичной окружности (теорема Пифагора для координат точки $(x, y)$ на окружности радиуса 1: $x^2 + y^2 = 1$). Большинство других тождеств могут быть выведены из него и определений тангенса и котангенса.

Ответ: Известны тождества, такие как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$, $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ и $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Основным тригонометрическим тождеством является $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.