Номер 303, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

303. а) Запишите уравнение окружности с центром в точке $(-3; 2)$, касающейся оси $Ox$.

б) Сколько общих точек имеют прямая $x = 3$ и окружность $x^2 + y^2 = 16$?

a) Запишите уравнение окружности с центром в точке (-3; 2), касающейся оси Ox.

Дано:

Центр окружности $C(-3; 2)$.

Окружность касается оси $Ox$.

Перевод в СИ: Не требуется, так как задача оперирует безразмерными координатами в декартовой системе.

Найти:

Уравнение окружности.

Решение:

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

В нашем случае, центр окружности находится в точке $(-3; 2)$, следовательно $a = -3$ и $b = 2$. Подставим эти значения в уравнение:

$$(x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = R^2$$

$$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = R^2$$

Так как окружность касается оси $Ox$, радиус $R$ равен абсолютной величине $y$-координаты центра. В данном случае $R = |2| = 2$.

Тогда $R^2 = 2^2 = 4$.

Подставим значение $R^2$ в уравнение окружности:

$$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$$

Ответ: $$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$$

б) Сколько общих точек имеют прямая x = 3 и окружность x² + y² = 16?

Дано:

Прямая $x = 3$.

Окружность $x^2 + y^2 = 16$.

Перевод в СИ: Не требуется, так как задача оперирует безразмерными координатами в декартовой системе.

Найти:

Количество общих точек прямой и окружности.

Решение:

Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 16$ описывает окружность с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Прямая $x = 3$ является вертикальной прямой, проходящей через $x = 3$.

Чтобы найти количество общих точек, подставим значение $x$ из уравнения прямой в уравнение окружности:

$$3^2 + y^2 = 16$$

$$9 + y^2 = 16$$

$$y^2 = 16 - 9$$

$$y^2 = 7$$

Из этого уравнения находим значения $y$:

$$y = \pm \sqrt{7}$$

Получаем два различных действительных значения для $y$: $y_1 = \sqrt{7}$ и $y_2 = -\sqrt{7}$.

Таким образом, существуют две общие точки: $(3; \sqrt{7})$ и $(3; -\sqrt{7})$.

Альтернативный метод: Сравним расстояние от центра окружности до прямой с радиусом окружности.

Центр окружности $C(0; 0)$, радиус $R = 4$.

Прямая задана уравнением $x = 3$, что можно переписать как $x - 3 = 0$.

Расстояние $d$ от точки $(x_0; y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле: $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Для центра $(0; 0)$ и прямой $x - 3 = 0$ (где $A = 1, B = 0, C = -3$):

$$d = \frac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{1}} = 3$$

Сравним расстояние $d$ с радиусом $R$:

$$d = 3$$

$$R = 4$$

Так как $d < R$ ($3 < 4$), прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: Две.