Номер 302, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

302.

a) Запишите уравнение окружности с центром в точке $C(4; -3)$, которая проходит через точку $A(8; -6)$.

б) Ученик предложил следующий вывод уравнения произвольной окружности: «Расстояние $R$ от произвольной точки $P(x; y)$ окружности до начала координат выражается формулой $x^2 + y^2 = R^2$. Это равенство и есть уравнение окружности.» Найдите ошибки в таком «выводе» уравнения окружности.

а) Запишите уравнение окружности с центром в точке C(4; -3), которая проходит через точку A(8; -6).

Дано:

Центр окружности $C(x_C; y_C) = C(4; -3)$

Точка на окружности $A(x_A; y_A) = A(8; -6)$

Перевод в СИ:

Координаты являются безразмерными величинами, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Уравнение окружности.

Решение:

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

В данном случае, центр окружности $C(x_0; y_0) = C(4; -3)$, поэтому $x_0 = 4$ и $y_0 = -3$.

Радиус окружности $R$ - это расстояние от центра $C$ до точки $A$, через которую проходит окружность. Расстояние между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ определяется по формуле: $D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

В нашем случае радиус $R$ равен расстоянию $CA$, то есть $R = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2}$.

Для подстановки в уравнение окружности нам нужно $R^2$: $R^2 = (x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2$.

Подставим значения координат точек $A(8; -6)$ и $C(4; -3)$:

$R^2 = (8 - 4)^2 + (-6 - (-3))^2$

$R^2 = (4)^2 + (-3)^2$

$R^2 = 16 + 9$

$R^2 = 25$

Теперь подставим координаты центра $x_0 = 4$, $y_0 = -3$ и найденное значение $R^2 = 25$ в стандартное уравнение окружности:

$(x - 4)^2 + (y - (-3))^2 = 25$

$(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Ответ: Уравнение окружности: $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 25$

б) Ученик предложил следующий вывод уравнения произвольной окружности: «Расстояние R от произвольной точки P(x; y) окружности до начала координат выражается формулой x^2 + y^2 = R^2. Это равенство и есть уравнение окружности.» Найдите ошибки в таком «выводе» уравнения окружности.

Решение:

Ошибка ученика заключается в следующем:

1. Неверное обобщение: Уравнение $x^2 + y^2 = R^2$ описывает окружность, центр которой находится строго в начале координат, то есть в точке $(0; 0)$. Это лишь частный случай уравнения окружности, а не уравнение "произвольной" окружности.

2. Неполнота определения: Для "произвольной" окружности, её центр может находиться в любой точке плоскости $(x_0; y_0)$, а не только в начале координат. Общее (стандартное) уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ - координаты центра окружности, а $R$ - её радиус. Ученик не учел возможность смещения центра окружности относительно начала координат.

Ответ: Ошибка заключается в том, что ученик представил уравнение окружности с центром в начале координат ($x^2 + y^2 = R^2$) как уравнение "произвольной" окружности, тогда как общее уравнение окружности, учитывающее любое положение центра $(x_0; y_0)$, имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.