Номер 301, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

301. Дана окружность $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 4$. Составьте уравнение окружности:

а) равной данной, центр которой находится в точке $(3; -5)$;

б) симметричной данной относительно оси ординат.

Дано:

Уравнение окружности: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Из стандартного уравнения окружности $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, где $(h, k)$ - координаты центра, а $r$ - радиус, получаем:

Координаты центра данной окружности $C_0$: $(-1, 2)$

Квадрат радиуса данной окружности $r_0^2$: $4$

Радиус данной окружности $r_0$: $\sqrt{4} = 2$

Найти:

Уравнение окружности:

a) равной данной, центр которой находится в точке $(3; -5)$;

б) симметричной данной относительно оси ординат.

Решение:

a) равной данной, центр которой находится в точке (3; −5);

По условию, новая окружность должна быть "равной данной", что означает, что ее радиус будет таким же, как и радиус данной окружности. Таким образом, радиус новой окружности $r_a = r_0 = 2$.

Центр новой окружности $C_a$ задан как $(3, -5)$. То есть, $h_a = 3$ и $k_a = -5$.

Используем стандартное уравнение окружности: $(x - h_a)^2 + (y - k_a)^2 = r_a^2$.

Подставляем найденные значения:

$(x - 3)^2 + (y - (-5))^2 = 2^2$

Упрощаем:

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 4$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 4$

б) симметричной данной относительно оси ординат.

При симметрии относительно оси ординат (оси y) координата $x$ меняет знак на противоположный, а координата $y$ остается неизменной. Радиус окружности при этом не меняется.

Центр данной окружности $C_0$ имеет координаты $(-1, 2)$.

Координаты центра новой окружности $C_b$ будут:

$h_b = -h_0 = -(-1) = 1$

$k_b = k_0 = 2$

Таким образом, центр новой окружности $C_b$ находится в точке $(1, 2)$.

Радиус новой окружности $r_b = r_0 = 2$.

Используем стандартное уравнение окружности: $(x - h_b)^2 + (y - k_b)^2 = r_b^2$.

Подставляем найденные значения:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$

Упрощаем:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$