Номер 295, страница 139 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

295. Запишите уравнение линии, все точки которой равноудалены от точек:

а) $A(1; 1)$ и $B(3; 3)$;

б) $M(0; 2)$ и $N(4; -2)$.

a) $A(1; 1)$ и $B(3; 3)$

Дано:
Точки $A(1; 1)$, $B(3; 3)$.

Найти:
Уравнение линии, все точки которой равноудалены от $A$ и $B$.

Решение:
Пусть $P(x; y)$ — произвольная точка на искомой линии. По определению, эта линия является перпендикулярным биссектором отрезка $AB$.
Расстояние от точки $P$ до точки $A$ равно $PA = \sqrt{(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2}$.
Расстояние от точки $P$ до точки $B$ равно $PB = \sqrt{(x-x_B)^2 + (y-y_B)^2}$.
По условию, $PA = PB$. Это равносильно тому, что $PA^2 = PB^2$.
$PA^2 = (x-1)^2 + (y-1)^2$
$PB^2 = (x-3)^2 + (y-3)^2$
Приравниваем квадраты расстояний:
$(x-1)^2 + (y-1)^2 = (x-3)^2 + (y-3)^2$
Раскроем скобки:
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 6y + 9)$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9$
$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 = x^2 + y^2 - 6x - 6y + 18$
Вычтем $x^2 + y^2$ из обеих частей уравнения:
$-2x - 2y + 2 = -6x - 6y + 18$
Перенесем все члены с переменными в левую часть, а константы в правую:
$-2x + 6x - 2y + 6y = 18 - 2$
$4x + 4y = 16$
Разделим все члены уравнения на 4:
$x + y = 4$

Ответ: $x + y = 4$

б) $M(0; 2)$ и $N(4; -2)$

Дано:
Точки $M(0; 2)$, $N(4; -2)$.

Найти:
Уравнение линии, все точки которой равноудалены от $M$ и $N$.

Решение:
Пусть $P(x; y)$ — произвольная точка на искомой линии. Эта линия является перпендикулярным биссектором отрезка $MN$.
Расстояние от точки $P$ до точки $M$ равно $PM = \sqrt{(x-x_M)^2 + (y-y_M)^2}$.
Расстояние от точки $P$ до точки $N$ равно $PN = \sqrt{(x-x_N)^2 + (y-y_N)^2}$.
По условию, $PM = PN$. Это равносильно тому, что $PM^2 = PN^2$.
$PM^2 = (x-0)^2 + (y-2)^2 = x^2 + (y-2)^2$
$PN^2 = (x-4)^2 + (y-(-2))^2 = (x-4)^2 + (y+2)^2$
Приравниваем квадраты расстояний:
$x^2 + (y-2)^2 = (x-4)^2 + (y+2)^2$
Раскроем скобки:
$x^2 + (y^2 - 4y + 4) = (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 4y + 4)$
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + y^2 - 8x + 4y + 20$
Вычтем $x^2 + y^2$ из обеих частей уравнения:
$-4y + 4 = -8x + 4y + 20$
Перенесем все члены с переменными в левую часть, а константы в правую:
$8x - 4y - 4y = 20 - 4$
$8x - 8y = 16$
Разделим все члены уравнения на 8:
$x - y = 2$

Ответ: $x - y = 2$