Вопросы, страница 142 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Выведите уравнение окружности.

Дано:

Окружность определяется как геометрическое место всех точек на плоскости, равноудаленных от одной заданной фиксированной точки, называемой центром окружности. Это постоянное расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом.

Пусть центр окружности обозначен точкой $C$ с координатами $(a, b)$.

Пусть радиус окружности равен $R$.

Пусть $P$ — произвольная точка, лежащая на окружности, с координатами $(x, y)$.

Найти:

Уравнение окружности.

Решение:

Для вывода уравнения окружности мы используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. По определению окружности, расстояние от любой точки $P(x, y)$ на окружности до центра $C(a, b)$ всегда равно радиусу $R$.

Формула расстояния $d$ между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на плоскости определяется как:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Применяя эту формулу к центру $C(a, b)$ (считая его $(x_1, y_1)$) и произвольной точке $P(x, y)$ на окружности (считая ее $(x_2, y_2)$), где расстояние $d$ равно радиусу $R$, получаем:

$R = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$

Чтобы устранить квадратный корень и получить более удобную форму уравнения, возведем обе части этого уравнения в квадрат:

$R^2 = \left(\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}\right)^2$

Это приводит к каноническому уравнению окружности:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Это уравнение представляет собой общее уравнение окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$.

Частный случай: Если центр окружности находится в начале координат, то есть $C(0, 0)$, то значения $a$ и $b$ равны нулю. В этом случае уравнение окружности упрощается до:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = R^2$

$x^2 + y^2 = R^2$

Ответ:

Уравнение окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Если центр окружности находится в начале координат $(0, 0)$, уравнение окружности имеет вид: $x^2 + y^2 = R^2$.