Номер 290, страница 139 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

290. Составьте уравнение прямой, проходящей че-рез точку $A$ и образующей с осью $Ox$ угол $\alpha$, если:

a) $A(0; 3)$ и $\alpha = 30^\circ$;

б) $A(2; 1)$ и $\alpha = 135^\circ$.

а)

Дано:
Точка $A(0; 3)$
Угол $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:
$x_0 = 0$
$y_0 = 3$
$\alpha = 30^\circ$

Найти:
Уравнение прямой

Решение:
Общее уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой, а $b$ – отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy. Угловой коэффициент $k$ связан с углом $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси Ox, формулой $k = \tan(\alpha)$.
1. Найдем угловой коэффициент $k$ для $\alpha = 30^\circ$:
$k = \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
2. Так как прямая проходит через точку $A(0; 3)$, подставим ее координаты ($x_0 = 0$, $y_0 = 3$) и найденное значение $k$ в уравнение прямой $y = kx + b$:
$3 = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 0 + b$
$3 = 0 + b$
$b = 3$
3. Таким образом, уравнение прямой:
$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$

б)

Дано:
Точка $A(2; 1)$
Угол $\alpha = 135^\circ$

Перевод в СИ:
$x_0 = 2$
$y_0 = 1$
$\alpha = 135^\circ$

Найти:
Уравнение прямой

Решение:
Используем ту же формулу для углового коэффициента $k = \tan(\alpha)$.
1. Найдем угловой коэффициент $k$ для $\alpha = 135^\circ$:
$k = \tan(135^\circ) = -1$
2. Так как прямая проходит через точку $A(2; 1)$, подставим ее координаты ($x_0 = 2$, $y_0 = 1$) и найденное значение $k$ в уравнение прямой $y = kx + b$:
$1 = -1 \cdot 2 + b$
$1 = -2 + b$
$b = 1 + 2$
$b = 3$
3. Таким образом, уравнение прямой:
$y = -1x + 3$
$y = -x + 3$

Ответ: $y = -x + 3$