Номер 294, страница 139 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

294. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(6; 0,5) и перпендикулярную прямой:

а) $y = 2x - 5$;

б) $8x + 4y + 3 = 0$.

Дано:

Точка $A(6; 0.5)$

Найти:

Уравнение прямой, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной к данным прямым.

Решение:

Общее уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Если две прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно $-1$, то есть $k_1 \cdot k_2 = -1$. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$.

а)

Дана прямая $y = 2x - 5$.

Угловой коэффициент данной прямой $k_1 = 2$.

Найдем угловой коэффициент $k_2$ перпендикулярной прямой из условия $k_1 \cdot k_2 = -1$:

$2 \cdot k_2 = -1$

$k_2 = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим координаты точки $A(6; 0.5)$ и найденный угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$ в уравнение $y - y_0 = k_2(x - x_0)$:

$y - 0.5 = -\frac{1}{2}(x - 6)$

$y - 0.5 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \cdot 6$

$y - 0.5 = -\frac{1}{2}x + 3$

$y = -\frac{1}{2}x + 3 + 0.5$

$y = -\frac{1}{2}x + 3.5$

Или в стандартном виде $Ax + By + C = 0$:

$2y = -x + 7$

$x + 2y - 7 = 0$

Ответ: $y = -0.5x + 3.5$ или $x + 2y - 7 = 0$.

б)

Дана прямая $8x + 4y + 3 = 0$.

Приведем уравнение данной прямой к виду $y = kx + b$:

$4y = -8x - 3$

$y = \frac{-8}{4}x - \frac{3}{4}$

$y = -2x - 0.75$

Угловой коэффициент данной прямой $k_1 = -2$.

Найдем угловой коэффициент $k_2$ перпендикулярной прямой из условия $k_1 \cdot k_2 = -1$:

$-2 \cdot k_2 = -1$

$k_2 = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим координаты точки $A(6; 0.5)$ и найденный угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{2}$ в уравнение $y - y_0 = k_2(x - x_0)$:

$y - 0.5 = \frac{1}{2}(x - 6)$

$y - 0.5 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot 6$

$y - 0.5 = \frac{1}{2}x - 3$

$y = \frac{1}{2}x - 3 + 0.5$

$y = \frac{1}{2}x - 2.5$

Или в стандартном виде $Ax + By + C = 0$:

$2y = x - 5$

$x - 2y - 5 = 0$

Ответ: $y = 0.5x - 2.5$ или $x - 2y - 5 = 0$.