Номер 299, страница 142 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

299. Составьте уравнение окружности с центром в начале координат, которой принадлежит точка:

а) $(0; 10);$

б) $(\frac{11}{13}; \frac{10}{13});$

в) $(-1,5; 3,6).$

Дано:

Центр окружности находится в начале координат, то есть в точке $(0,0)$.

Найти:

Уравнение окружности, которой принадлежит заданная точка.

Решение:

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

По условию, центр окружности находится в начале координат, что означает $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$. Следовательно, уравнение окружности упрощается до: $x^2 + y^2 = R^2$.

Радиус $R$ - это расстояние от центра окружности до любой точки, лежащей на окружности. Если заданная точка $(x_p, y_p)$ принадлежит окружности, то квадрат радиуса $R^2$ может быть найден по формуле расстояния от начала координат до этой точки: $R^2 = x_p^2 + y_p^2$.

а) (0; 10)

Для заданной точки $P(0; 10)$ вычислим квадрат радиуса $R^2$:

$R^2 = (0)^2 + (10)^2 = 0 + 100 = 100$.

Таким образом, уравнение окружности будет: $x^2 + y^2 = 100$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 100$

б) ($1 \frac{11}{13}; \frac{10}{13}$)

Для заданной точки $P(1 \frac{11}{13}; \frac{10}{13})$ сначала переведем смешанную дробь в неправильную:

$1 \frac{11}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 11}{13} = \frac{13 + 11}{13} = \frac{24}{13}$.

Теперь вычислим квадрат радиуса $R^2$:

$R^2 = \left(\frac{24}{13}\right)^2 + \left(\frac{10}{13}\right)^2$

$R^2 = \frac{24^2}{13^2} + \frac{10^2}{13^2} = \frac{576}{169} + \frac{100}{169} = \frac{576 + 100}{169} = \frac{676}{169}$.

Так как $676 = 4 \cdot 169$, то $R^2 = 4$.

Таким образом, уравнение окружности будет: $x^2 + y^2 = 4$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 4$

в) (-1.5; 3.6)

Для заданной точки $P(-1.5; 3.6)$ вычислим квадрат радиуса $R^2$:

$R^2 = (-1.5)^2 + (3.6)^2$.

$R^2 = 2.25 + 12.96 = 15.21$.

Таким образом, уравнение окружности будет: $x^2 + y^2 = 15.21$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 15.21$