Номер 304, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

304. Составьте уравнение окружности с диаметром $AB$, если:

a) $A(1; 8)$, $B(5; 2)$ и установите, пересекает ли эта окружность оси координат;

б) $A(1; 0)$, $B(-2; 4)$, найдите координаты точек пересечения этой окружности с прямой $x = -0.5$.

Дано:

a) Точки $A(1; 8)$ и $B(5; 2)$ являются концами диаметра окружности.

б) Точки $A(1; 0)$ и $B(-2; 4)$ являются концами диаметра окружности. Прямая $x = -0.5$.

Найти:

a) Уравнение окружности и определить, пересекает ли она оси координат.

б) Уравнение окружности и координаты точек ее пересечения с прямой $x = -0.5$.

Решение:

a) A(1; 8), B(5; 2) и установите, пересекает ли эта окружность оси координат;

1. Найдем координаты центра окружности $C(x_c; y_c)$ как середину диаметра AB:

$x_c = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_c = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, центр окружности $C(3; 5)$.

2. Найдем квадрат радиуса окружности $R^2$. Радиус - это расстояние от центра до любой из точек A или B. Воспользуемся точкой A:

$R^2 = (x_A - x_c)^2 + (y_A - y_c)^2$

$R^2 = (1 - 3)^2 + (8 - 5)^2 = (-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$

3. Запишем уравнение окружности в стандартном виде $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2$:

$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 13$

4. Проверим пересечение с осями координат:

a) Пересечение с осью Ox (где $y = 0$):

$(x - 3)^2 + (0 - 5)^2 = 13$

$(x - 3)^2 + (-5)^2 = 13$

$(x - 3)^2 + 25 = 13$

$(x - 3)^2 = 13 - 25$

$(x - 3)^2 = -12$

Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, окружность не пересекает ось Ox.

б) Пересечение с осью Oy (где $x = 0$):

$(0 - 3)^2 + (y - 5)^2 = 13$

$(-3)^2 + (y - 5)^2 = 13$

$9 + (y - 5)^2 = 13$

$(y - 5)^2 = 13 - 9$

$(y - 5)^2 = 4$

$y - 5 = \pm\sqrt{4}$

$y - 5 = \pm 2$

Отсюда $y_1 = 5 + 2 = 7$ или $y_2 = 5 - 2 = 3$.

Окружность пересекает ось Oy в точках $(0; 3)$ и $(0; 7)$.

Ответ: Уравнение окружности: $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 13$. Окружность не пересекает ось Ox, но пересекает ось Oy в точках $(0; 3)$ и $(0; 7)$.

б) A(1; 0), B(-2; 4), найдите координаты точек пересечения этой окружности с прямой x = -0,5.

1. Найдем координаты центра окружности $C(x_c; y_c)$ как середину диаметра AB:

$x_c = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + (-2)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$

$y_c = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, центр окружности $C(-0.5; 2)$.

2. Найдем квадрат радиуса окружности $R^2$. Воспользуемся точкой A:

$R^2 = (x_A - x_c)^2 + (y_A - y_c)^2$

$R^2 = (1 - (-0.5))^2 + (0 - 2)^2 = (1 + 0.5)^2 + (-2)^2 = (1.5)^2 + 4 = 2.25 + 4 = 6.25$

3. Запишем уравнение окружности в стандартном виде $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2$:

$(x - (-0.5))^2 + (y - 2)^2 = 6.25$

$(x + 0.5)^2 + (y - 2)^2 = 6.25$

4. Найдем точки пересечения окружности с прямой $x = -0.5$. Подставим $x = -0.5$ в уравнение окружности:

$(-0.5 + 0.5)^2 + (y - 2)^2 = 6.25$

$0^2 + (y - 2)^2 = 6.25$

$(y - 2)^2 = 6.25$

$y - 2 = \pm\sqrt{6.25}$

$y - 2 = \pm 2.5$

Отсюда $y_1 = 2 + 2.5 = 4.5$ или $y_2 = 2 - 2.5 = -0.5$.

Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(-0.5; 4.5)$ и $(-0.5; -0.5)$.

Ответ: Уравнение окружности: $(x + 0.5)^2 + (y - 2)^2 = 6.25$. Координаты точек пересечения с прямой $x = -0.5$ : $(-0.5; 4.5)$ и $(-0.5; -0.5)$.