Номер 309, страница 146 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

309. Постройте угол A, если:

a) $sin A = \frac{2}{3}$;

б) $cos A = \frac{3}{4}$;

в) $cos A = -0,4$.

а) sin A = 2/3

Дано: $sin A = \frac{2}{3}$

Найти: Построить угол $A$.

Решение:

Для построения угла $A$ с заданным синусом можно использовать свойства прямоугольного треугольника. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

1. Начертим отрезок $BC$ длиной 2 условные единицы (например, 2 см). Этот отрезок будет противолежащим катетом.

2. Из точки $B$ проведем луч $BX$, перпендикулярный отрезку $BC$. Таким образом, мы создаем прямой угол.

3. Из точки $C$ с помощью циркуля проведем дугу радиусом 3 условные единицы (например, 3 см). Этот радиус будет представлять гипотенузу.

4. Точку пересечения дуги с лучом $BX$ обозначим $A$.

5. Соединим точки $A$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

6. Угол $A$ (при вершине $A$) в этом треугольнике является искомым, так как $sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Угол $A$ построен как острый угол прямоугольного треугольника с противолежащим катетом 2 и гипотенузой 3.

б) cos A = 3/4

Дано: $cos A = \frac{3}{4}$

Найти: Построить угол $A$.

Решение:

Для построения угла $A$ с заданным косинусом также удобно использовать прямоугольный треугольник. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

1. Начертим отрезок $AB$ длиной 3 условные единицы (например, 3 см). Этот отрезок будет прилежащим катетом.

2. Из точки $B$ проведем луч $BY$, перпендикулярный отрезку $AB$. Таким образом, мы создаем прямой угол.

3. Из точки $A$ с помощью циркуля проведем дугу радиусом 4 условные единицы (например, 4 см). Этот радиус будет представлять гипотенузу.

4. Точку пересечения дуги с лучом $BY$ обозначим $C$.

5. Соединим точки $A$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

6. Угол $A$ (при вершине $A$) в этом треугольнике является искомым, так как $cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}$.

Ответ: Угол $A$ построен как острый угол прямоугольного треугольника с прилежащим катетом 3 и гипотенузой 4.

в) cos A = -0,4

Дано: $cos A = -0,4 = -\frac{2}{5}$

Найти: Построить угол $A$.

Решение:

Поскольку косинус угла отрицательный, угол $A$ не является острым. Он будет находиться во втором или третьем квадранте. Для построения такого угла удобно использовать единичную окружность.

1. Построим декартову систему координат с началом в точке $O(0,0)$.

2. Начертим единичную окружность с центром в начале координат $O$ и радиусом, равным 1 условной единице (например, 5 см, чтобы было удобно откладывать $-0,4$).

3. На оси абсцисс ($Ox$) отложим точку $M$ с координатой $x = -0,4$. Если радиус окружности выбран 5 см, то $-0,4$ будет соответствовать $-2$ см от начала координат влево.

4. Проведем вертикальную прямую через точку $M$, параллельную оси ординат ($Oy$).

5. Эта вертикальная прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Обозначим их $P_1$ (в верхнем полуплоскости) и $P_2$ (в нижнем полуплоскости).

6. Проведем лучи из начала координат $O$ через точки $P_1$ и $P_2$.

7. Угол $A_1$, образованный положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP_1$, является углом во втором квадранте, чей косинус равен $-0,4$.

8. Угол $A_2$, образованный положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP_2$, является углом в третьем квадранте, чей косинус также равен $-0,4$.

Обычно при такой постановке задачи подразумевается наименьший положительный угол, то есть угол во втором квадранте.

Ответ: Угол $A$ построен как угол, чей конец лежит на единичной окружности в точках пересечения с вертикальной прямой $x=-0,4$. Возможны два таких угла: один во втором квадранте, другой в третьем квадранте.