Номер 313, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

313. Найдите, используя таблицу значений тригонометрических функций острых углов и тригонометрические формулы, угол $\alpha$, для которого:

а) $\sin \alpha \approx 0,2$;

б) $\cos \alpha \approx -0,60$;

в) $\operatorname{tg} \alpha \approx -0,40$;

г) $\operatorname{ctg} \alpha \approx 0,70$.

а) sin $\alpha \approx 0,2$

Дано: $\sin \alpha \approx 0,2$

Найти: $\alpha$

Решение:
Поскольку значение синуса положительно, угол $\alpha$ является острым углом (лежит в первой четверти). Используя таблицу значений тригонометрических функций для острых углов или калькулятор, найдем угол, синус которого приблизительно равен $0,2$.
$\sin 11^\circ \approx 0,1908$
$\sin 12^\circ \approx 0,2079$
Значение $0,2$ находится между $\sin 11^\circ$ и $\sin 12^\circ$, ближе к $\sin 12^\circ$. Таким образом, $\alpha \approx 12^\circ$.

Ответ: $\alpha \approx 12^\circ$

б) cos $\alpha \approx -0,60$

Дано: $\cos \alpha \approx -0,60$

Найти: $\alpha$

Решение:
Поскольку значение косинуса отрицательно, угол $\alpha$ лежит во второй или третьей четверти. В контексте стандартных задач на нахождение угла по его значению, обычно имеется в виду наименьший положительный угол или угол из промежутка $[0^\circ, 180^\circ]$. Для косинуса, это будет вторая четверть. Найдем острый угол $\alpha_0$, для которого $\cos \alpha_0 = |\cos \alpha| = 0,60$. Используя таблицу значений тригонометрических функций для острых углов:
$\cos 53^\circ \approx 0,6018$
$\cos 54^\circ \approx 0,5878$
Таким образом, $\alpha_0 \approx 53^\circ$.
Для угла, лежащего во второй четверти, косинус которого отрицателен, используем формулу приведения: $\cos(180^\circ - \alpha_0) = -\cos \alpha_0$.
Следовательно, $\alpha \approx 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$.

Ответ: $\alpha \approx 127^\circ$

в) tg $\alpha \approx -0,40$

Дано: $\operatorname{tg} \alpha \approx -0,40$

Найти: $\alpha$

Решение:
Поскольку значение тангенса отрицательно, угол $\alpha$ лежит во второй или четвертой четверти. Обычно ищется угол из промежутка $[0^\circ, 180^\circ)$ или $(-\pi/2, \pi/2)$. Для отрицательного тангенса, это будет вторая четверть (или отрицательный угол в четвертой четверти, но чаще всего ищут положительный). Найдем острый угол $\alpha_0$, для которого $\operatorname{tg} \alpha_0 = |\operatorname{tg} \alpha| = 0,40$. Используя таблицу значений тригонометрических функций для острых углов:
$\operatorname{tg} 21^\circ \approx 0,3839$
$\operatorname{tg} 22^\circ \approx 0,4040$
Таким образом, $\alpha_0 \approx 22^\circ$.
Для угла, лежащего во второй четверти, тангенс которого отрицателен, используем формулу приведения: $\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha_0) = -\operatorname{tg} \alpha_0$.
Следовательно, $\alpha \approx 180^\circ - 22^\circ = 158^\circ$.

Ответ: $\alpha \approx 158^\circ$

г) ctg $\alpha \approx 0,70$

Дано: $\operatorname{ctg} \alpha \approx 0,70$

Найти: $\alpha$

Решение:
Поскольку значение котангенса положительно, угол $\alpha$ является острым углом (лежит в первой четверти). Используя таблицу значений тригонометрических функций для острых углов или калькулятор, найдем угол, котангенс которого приблизительно равен $0,70$.
$\operatorname{ctg} 55^\circ \approx 0,7002$
$\operatorname{ctg} 54^\circ \approx 0,7265$
Значение $0,70$ очень близко к $\operatorname{ctg} 55^\circ$. Таким образом, $\alpha \approx 55^\circ$.
Также можно использовать соотношение $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}$.
$\operatorname{tg} \alpha \approx \frac{1}{0,70} \approx 1,4286$
По таблице тангенсов:
$\operatorname{tg} 55^\circ \approx 1,4281$
Это подтверждает, что $\alpha \approx 55^\circ$.

Ответ: $\alpha \approx 55^\circ$