Номер 319, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

319. Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника равен 30°. Найдите с точностью до 0,01 косинус его внешнего угла при вершине основания.

Дано:

Равнобедренный треугольник.

Угол между боковыми сторонами (угол при вершине) $\alpha = 30^\circ$.

Найти:

Косинус внешнего угла при вершине основания, с точностью до 0,01.

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть каждый угол при основании равен $\beta$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

Тогда:

$\alpha + \beta + \beta = 180^\circ$

$\alpha + 2\beta = 180^\circ$

Подставим известное значение $\alpha = 30^\circ$:

$30^\circ + 2\beta = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ - 30^\circ$

$2\beta = 150^\circ$

$\beta = \frac{150^\circ}{2}$

$\beta = 75^\circ$

Теперь найдем внешний угол при вершине основания. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В нашем случае, внешний угол при вершине основания $\beta_{ext}$ равен сумме угла при вершине $\alpha$ и другого угла при основании $\beta$.

$\beta_{ext} = \alpha + \beta$

$\beta_{ext} = 30^\circ + 75^\circ$

$\beta_{ext} = 105^\circ$

Нам нужно найти косинус этого угла, $\cos(105^\circ)$.

Известно, что $\cos(180^\circ - x) = -\cos(x)$. Тогда $\cos(105^\circ) = \cos(180^\circ - 75^\circ) = -\cos(75^\circ)$.

Для вычисления $\cos(75^\circ)$ используем формулу косинуса суммы углов: $\cos(A+B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$.

$\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)$

$\cos(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$

$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Приближенные значения: $\sqrt{6} \approx 2.449$, $\sqrt{2} \approx 1.414$.

$\cos(75^\circ) \approx \frac{2.449 - 1.414}{4} = \frac{1.035}{4} = 0.25875$

Теперь найдем $\cos(105^\circ)$:

$\cos(105^\circ) = -\cos(75^\circ) \approx -0.25875$

Округлим результат до 0,01:

$-0.25875 \approx -0.26$

Ответ: -0.26