Номер 317, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

317. В треугольнике тангенс одного угла равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, а синус другого $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Найдите его третий угол.

Дано:

В треугольнике (пусть его углы будут $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $):

$ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3} $

$ \sin(\beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Найти:

$ \gamma $

Решение:

Для начала определим возможные значения углов $ \alpha $ и $ \beta $.

1. Найдем угол $ \alpha $:

Известно, что $ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Поскольку $ \alpha $ является углом треугольника, его значение должно быть в диапазоне $ 0^\circ < \alpha < 180^\circ $. Тангенс принимает положительное значение $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ только для острых углов в этом диапазоне (а именно в I четверти).

$ \alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $

$ \alpha = 30^\circ $

2. Найдем угол $ \beta $:

Известно, что $ \sin(\beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Поскольку $ \beta $ также является углом треугольника, $ 0^\circ < \beta < 180^\circ $. Синус принимает положительное значение в I и II четвертях. Это означает, что для $ \sin(\beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ существуют два возможных значения $ \beta $:

a) Острый угол (принципное значение арксинуса):

$ \beta_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $

$ \beta_1 = 45^\circ $

b) Тупой угол (дополнительный к острому углу во II четверти):

$ \beta_2 = 180^\circ - \beta_1 $

$ \beta_2 = 180^\circ - 45^\circ $

$ \beta_2 = 135^\circ $

3. Найдем третий угол $ \gamma $ для каждого из двух возможных случаев, используя свойство, что сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $ ($ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $).

Случай 1: $ \beta = 45^\circ $

В этом случае углы $ \alpha $ и $ \beta $ равны $ 30^\circ $ и $ 45^\circ $ соответственно.

$ 30^\circ + 45^\circ + \gamma_1 = 180^\circ $

$ 75^\circ + \gamma_1 = 180^\circ $

$ \gamma_1 = 180^\circ - 75^\circ $

$ \gamma_1 = 105^\circ $

Набор углов $ (30^\circ, 45^\circ, 105^\circ) $ является допустимым для треугольника, так как все углы положительны и их сумма равна $ 180^\circ $.

Случай 2: $ \beta = 135^\circ $

В этом случае углы $ \alpha $ и $ \beta $ равны $ 30^\circ $ и $ 135^\circ $ соответственно.

$ 30^\circ + 135^\circ + \gamma_2 = 180^\circ $

$ 165^\circ + \gamma_2 = 180^\circ $

$ \gamma_2 = 180^\circ - 165^\circ $

$ \gamma_2 = 15^\circ $

Набор углов $ (30^\circ, 135^\circ, 15^\circ) $ также является допустимым для треугольника, так как все углы положительны и их сумма равна $ 180^\circ $.

Оба случая приводят к математически верным треугольникам. Однако, формулировка задачи "Найдите его третий угол" (в единственном числе) часто подразумевает единственное решение. В школьных задачах, если не указано иное, и возможно как острое, так и тупое значение угла по синусу, обычно выбирают острое значение (принципное значение арксинуса), если это не противоречит условиям существования треугольника. В данном случае, оба варианта углов $ \beta $ приводят к корректным треугольникам. Исходя из общепринятой практики, наиболее вероятным ожидаемым ответом является тот, который получается с использованием острого значения для $ \beta $.

Ответ:

105°