Номер 321, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

321. Докажите, что любая точка с координатами $(a; 2a)$ лежит на прямой, проходящей через начало координат и точку $(1; 2)$.

Дано

Точка P имеет координаты $(a; 2a)$.

Начало координат O имеет координаты $(0;0)$.

Точка A имеет координаты $(1;2)$.

Найти

Доказать, что точка P лежит на прямой, проходящей через начало координат и точку A.

Решение

Для того чтобы доказать, что любая точка с координатами $(a; 2a)$ лежит на прямой, проходящей через начало координат $O(0;0)$ и точку $A(1;2)$, необходимо сначала найти уравнение этой прямой.

Общее уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ - угловой коэффициент, а $b$ - свободный член.

Поскольку прямая проходит через начало координат $O(0;0)$, мы можем подставить эти координаты в уравнение прямой:

$0 = k \cdot 0 + b$

Из этого следует, что $b = 0$.

Таким образом, уравнение прямой упрощается до $y = kx$.

Далее, прямая проходит через точку $A(1;2)$. Подставим координаты этой точки в упрощенное уравнение $y = kx$:

$2 = k \cdot 1$

Из этого следует, что $k = 2$.

Следовательно, уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку $(1;2)$, имеет вид $y = 2x$.

Теперь необходимо проверить, лежит ли любая точка с координатами $(a; 2a)$ на этой прямой. Для этого подставим $x = a$ и $y = 2a$ в уравнение прямой $y = 2x$:

$2a = 2 \cdot a$

$2a = 2a$

Полученное равенство $2a = 2a$ является тождеством и истинно для любого значения $a$. Это означает, что координаты точки $(a; 2a)$ всегда удовлетворяют уравнению прямой $y = 2x$.

Ответ: Любая точка с координатами $(a; 2a)$ лежит на прямой, проходящей через начало координат и точку $(1;2)$, так как ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой $y = 2x$.