Номер 327, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

327. На единичной полуокружности с центром в начале координат даны точки A, B, C с абсциссами $1$, $-\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответственно.

Найдите:

а) $\sin \angle AOC$;

б) $\operatorname{tg} \angle AOB$.

Дано:

Единичная полуокружность с центром в начале координат O(0,0). Это означает, что радиус $R=1$, а все точки $(x,y)$ на полуокружности удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 = 1$ и условию $y \ge 0$.

Абсциссы данных точек:

$x_A = 1$

$x_B = -1/2$

$x_C = \sqrt{2}/2$

Все данные представлены в безразмерных величинах, относящихся к координатной плоскости, и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

a) $\sin\angle AOC$

б) $\operatorname{tg}\angle AOB$

Решение:

Поскольку точки A, B, C лежат на единичной полуокружности с центром в начале координат O(0,0), их координаты $(x,y)$ связаны соотношением $x = \cos\alpha$ и $y = \sin\alpha$, где $\alpha$ - угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором точки. Также учтем, что для полуокружности $y \ge 0$.

1. Определим координаты точек A, B, C и соответствующие им углы:

• Для точки A: $x_A = 1$.

  Используем уравнение окружности: $x_A^2 + y_A^2 = 1^2 \implies 1^2 + y_A^2 = 1 \implies y_A^2 = 0 \implies y_A = 0$.

  Координаты точки A: $(1, 0)$.

  Угол $\alpha_A$, соответствующий точке A, где $\cos\alpha_A = 1$ и $\sin\alpha_A = 0$, равен $0$ радиан.

• Для точки B: $x_B = -1/2$.

  Используем уравнение окружности: $x_B^2 + y_B^2 = 1^2 \implies (-1/2)^2 + y_B^2 = 1 \implies 1/4 + y_B^2 = 1 \implies y_B^2 = 3/4 \implies y_B = \sqrt{3}/2$ (так как $y_B \ge 0$).

  Координаты точки B: $(-1/2, \sqrt{3}/2)$.

  Угол $\alpha_B$, соответствующий точке B, где $\cos\alpha_B = -1/2$ и $\sin\alpha_B = \sqrt{3}/2$, равен $2\pi/3$ радиан.

• Для точки C: $x_C = \sqrt{2}/2$.

  Используем уравнение окружности: $x_C^2 + y_C^2 = 1^2 \implies (\sqrt{2}/2)^2 + y_C^2 = 1 \implies 2/4 + y_C^2 = 1 \implies 1/2 + y_C^2 = 1 \implies y_C^2 = 1/2 \implies y_C = \sqrt{2}/2$ (так как $y_C \ge 0$).

  Координаты точки C: $(\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2)$.

  Угол $\alpha_C$, соответствующий точке C, где $\cos\alpha_C = \sqrt{2}/2$ и $\sin\alpha_C = \sqrt{2}/2$, равен $\pi/4$ радиан.

2. Вычислим требуемые значения:

a) sin∠AOC

Угол $\angle AOC$ является центральным углом, образованным радиус-векторами OA и OC. Его величина равна разности углов точек C и A, поскольку точка A лежит на положительной оси x.

$\angle AOC = \alpha_C - \alpha_A = \pi/4 - 0 = \pi/4$ радиан.

$\sin\angle AOC = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

б) tg∠AOB

Угол $\angle AOB$ является центральным углом, образованным радиус-векторами OA и OB.

$\angle AOB = \alpha_B - \alpha_A = 2\pi/3 - 0 = 2\pi/3$ радиан.

$\operatorname{tg}\angle AOB = \operatorname{tg}(2\pi/3)$.

Мы знаем, что $\operatorname{tg}(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

Для угла $2\pi/3$ радиан:

$\sin(2\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(2\pi/3) = -\frac{1}{2}$

Следовательно,

$\operatorname{tg}(2\pi/3) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}$.

Ответ: