Номер 330, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

330. Докажите, что если $BM$ – медиана $\triangle ABC$, то $4BM^2 + AC^2 = 2(AB^2 + BC^2)$.

Дано:

Треугольник $ABC$, $BM$ - медиана.

Найти:

Доказать, что $4BM^2 + AC^2 = 2(AB^2 + BC^2)$.

Решение:

Пусть $M$ - середина стороны $AC$, так как $BM$ - медиана. Следовательно, $AM = MC = \frac{1}{2}AC$.

Обозначим $\angle AMB = \alpha$. Тогда углы $\angle AMB$ и $\angle CMB$ являются смежными, поэтому $\angle CMB = 180^\circ - \alpha$.

Применим теорему косинусов для треугольника $ABM$:

$AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 \cdot AM \cdot BM \cdot \cos(\angle AMB)$

$AB^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 + BM^2 - 2 \cdot \frac{AC}{2} \cdot BM \cdot \cos(\alpha)$

$AB^2 = \frac{AC^2}{4} + BM^2 - AC \cdot BM \cdot \cos(\alpha) \quad (1)$

Применим теорему косинусов для треугольника $CBM$:

$BC^2 = CM^2 + BM^2 - 2 \cdot CM \cdot BM \cdot \cos(\angle CMB)$

$BC^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 + BM^2 - 2 \cdot \frac{AC}{2} \cdot BM \cdot \cos(180^\circ - \alpha)$

Известно, что $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Подставим это в уравнение:

$BC^2 = \frac{AC^2}{4} + BM^2 - AC \cdot BM \cdot (-\cos(\alpha))$

$BC^2 = \frac{AC^2}{4} + BM^2 + AC \cdot BM \cdot \cos(\alpha) \quad (2)$

Сложим уравнения $(1)$ и $(2)$:

$AB^2 + BC^2 = \left(\frac{AC^2}{4} + BM^2 - AC \cdot BM \cdot \cos(\alpha)\right) + \left(\frac{AC^2}{4} + BM^2 + AC \cdot BM \cdot \cos(\alpha)\right)$

$AB^2 + BC^2 = \frac{AC^2}{4} + BM^2 + \frac{AC^2}{4} + BM^2$

$AB^2 + BC^2 = 2 \cdot \frac{AC^2}{4} + 2BM^2$

$AB^2 + BC^2 = \frac{AC^2}{2} + 2BM^2$

Умножим обе части полученного уравнения на $2$:

$2(AB^2 + BC^2) = 2 \left(\frac{AC^2}{2} + 2BM^2\right)$

$2(AB^2 + BC^2) = AC^2 + 4BM^2$

Перегруппируем члены, чтобы получить требуемое выражение:

$4BM^2 + AC^2 = 2(AB^2 + BC^2)$

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказано.