Номер 334, страница 152 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

334. Отрезки $AB$ и $CD$ – диаметры окружности. Докажите, что четырехугольник $ACBD$ – прямоугольник.

Дано:

Отрезки $AB$ и $CD$ - диаметры окружности.

Найти:

Доказать, что четырехугольник $ACBD$ - прямоугольник.

Решение:

Пусть $O$ - центр данной окружности. По определению, диаметр окружности - это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр.

1. Поскольку отрезки $AB$ и $CD$ являются диаметрами одной и той же окружности, они оба проходят через центр $O$. Это означает, что $O$ является точкой пересечения диагоналей $AB$ и $CD$ четырехугольника $ACBD$.

2. Так как $O$ является центром окружности, то отрезки $AO$, $OB$, $CO$, $OD$ являются радиусами этой окружности. Следовательно, их длины равны: $AO = OB = CO = OD = R$, где $R$ - радиус окружности.

3. Из равенства $AO = OB$ и $CO = OD$ следует, что точка $O$ является серединой диагонали $AB$ и серединой диагонали $CD$. Таким образом, диагонали четырехугольника $ACBD$ пересекаются в их середине. Четырехугольник, у которого диагонали пересекаются в их середине, является параллелограммом. Следовательно, $ACBD$ - параллелограмм.

4. Кроме того, поскольку $AB$ и $CD$ являются диаметрами одной и той же окружности, их длины равны: $AB = 2R$ и $CD = 2R$, то есть $AB = CD$.

5. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Поскольку мы доказали, что $ACBD$ - параллелограмм и его диагонали $AB$ и $CD$ равны, то четырехугольник $ACBD$ является прямоугольником.

Ответ:

Четырехугольник $ACBD$ является прямоугольником.