Номер 336, страница 152 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

336. Найдите площадь ромба, если:

а) его высота 12 см, а большая диагональ 20 см;

б) его сторона 33,8 см, а меньшая диагональ 26 см.

а) его высота 12 см, а большая диагональ 20 см

Дано:

высота ромба $h = 12$ см

большая диагональ $d_1 = 20$ см

Перевод в СИ:

$h = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$d_1 = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$

Найти:

площадь ромба $S$

Решение:

Площадь ромба может быть найдена по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона ромба, $h$ — его высота. Также площадь ромба может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — его диагонали.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора $a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$.

Из равенства формул для площади ромба получаем:

$a \cdot h = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Подставим известные значения:

$a \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot d_2$

$12a = 10d_2$

Выразим сторону $a$ через меньшую диагональ $d_2$:

$a = \frac{10}{12} d_2 = \frac{5}{6} d_2$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу теоремы Пифагора:

$\left(\frac{5}{6} d_2\right)^2 = \left(\frac{20}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

$\frac{25}{36} d_2^2 = 10^2 + \frac{d_2^2}{4}$

$\frac{25}{36} d_2^2 = 100 + \frac{d_2^2}{4}$

Перенесем слагаемые с $d_2^2$ в одну сторону:

$\frac{25}{36} d_2^2 - \frac{d_2^2}{4} = 100$

Приведем дроби к общему знаменателю (36):

$\frac{25}{36} d_2^2 - \frac{9}{36} d_2^2 = 100$

$\frac{16}{36} d_2^2 = 100$

$\frac{4}{9} d_2^2 = 100$

$d_2^2 = 100 \cdot \frac{9}{4}$

$d_2^2 = 25 \cdot 9$

$d_2 = \sqrt{225}$

$d_2 = 15$ см

Теперь найдем площадь ромба по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15$

$S = 10 \cdot 15$

$S = 150 \text{ см}^2$

Ответ: $150 \text{ см}^2$

б) его сторона 33,8 см, а меньшая диагональ 26 см

Дано:

сторона ромба $a = 33.8$ см

меньшая диагональ $d_2 = 26$ см

Перевод в СИ:

$a = 33.8 \text{ см} = 0.338 \text{ м}$

$d_2 = 26 \text{ см} = 0.26 \text{ м}$

Найти:

площадь ромба $S$

Решение:

Площадь ромба может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — его диагонали. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора $a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$.

Подставим известные значения в теорему Пифагора:

$(33.8)^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{26}{2}\right)^2$

$1142.44 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + 13^2$

$1142.44 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + 169$

Вычислим $\left(\frac{d_1}{2}\right)^2$:

$\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 = 1142.44 - 169$

$\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 = 973.44$

Найдем половину большей диагонали $d_1/2$:

$\frac{d_1}{2} = \sqrt{973.44}$

$\frac{d_1}{2} = 31.2$

Найдем большую диагональ $d_1$:

$d_1 = 2 \cdot 31.2$

$d_1 = 62.4$ см

Теперь найдем площадь ромба по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 62.4 \cdot 26$

$S = 62.4 \cdot 13$

$S = 811.2 \text{ см}^2$

Ответ: $811.2 \text{ см}^2$