Номер 343, страница 153 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

343. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ градусные меры углов $A$ и $B$ относятся как $7 : 8$, $\angle C = 150^\circ$, а угол $D$ меньше угла $B$ на $20^\circ$. Найдите неизвестные углы этого четырехугольника.

Дано:

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$:

$\angle A : \angle B = 7 : 8$

$\angle C = 150^\circ$

$\angle D = \angle B - 20^\circ$

Перевод данных в СИ:

Градусные меры углов (в градусах) не переводятся в систему СИ для решения данной геометрической задачи, поскольку стандартные формулы и свойства четырехугольников оперируют именно градусами, а не радианами. Перевод не требуется.

Найти:

Неизвестные углы четырехугольника: $\angle A$, $\angle B$, $\angle D$.

Решение:

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Это значит, что $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.

Из условия, что углы $A$ и $B$ относятся как $7 : 8$, мы можем ввести общую меру $x$. Тогда $\angle A = 7x$ и $\angle B = 8x$.

Также дано, что угол $D$ меньше угла $B$ на $20^\circ$. Подставим выражение для $\angle B$: $\angle D = \angle B - 20^\circ = 8x - 20^\circ$.

Теперь подставим выражения для углов $A$, $B$ и $D$, а также известное значение угла $C$ в формулу суммы углов четырехугольника:

$7x + 8x + 150^\circ + (8x - 20^\circ) = 360^\circ$.

Объединим слагаемые с $x$:

$7x + 8x + 8x = 23x$.

Объединим числовые слагаемые:

$150^\circ - 20^\circ = 130^\circ$.

Получим уравнение:

$23x + 130^\circ = 360^\circ$.

Вычтем $130^\circ$ из обеих частей уравнения:

$23x = 360^\circ - 130^\circ$.

$23x = 230^\circ$.

Разделим обе части на $23$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{230^\circ}{23}$.

$x = 10^\circ$.

Теперь, зная значение $x$, вычислим градусные меры углов $A$, $B$ и $D$:

$\angle A = 7x = 7 \cdot 10^\circ = 70^\circ$.

$\angle B = 8x = 8 \cdot 10^\circ = 80^\circ$.

$\angle D = 8x - 20^\circ = 8 \cdot 10^\circ - 20^\circ = 80^\circ - 20^\circ = 60^\circ$.

Проверим сумму всех углов: $70^\circ + 80^\circ + 150^\circ + 60^\circ = 360^\circ$. Условие выполняется.

Ответ:

$\angle A = 70^\circ$, $\angle B = 80^\circ$, $\angle D = 60^\circ$.