Номер 347, страница 153 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

347. Биссектрисы углов $A$ и $D$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $M$, принадлежащей стороне $BC$. Найдите площадь прямоугольника, если $AM = 5 \text{ см}$.

Дано

Прямоугольник $ABCD$. Биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются в точке $M$. Точка $M$ принадлежит стороне $BC$. $AM = 5 \text{ см}$.

Перевод в систему СИ:

$AM = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$.

Найти:

Площадь прямоугольника $S_{ABCD}$.

Решение

1. В прямоугольнике $ABCD$ все углы равны $90^\circ$. 2. $AM$ — биссектриса угла $A$, значит, она делит угол пополам: $\angle BAM = \angle DAM = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$. 3. $DM$ — биссектриса угла $D$, значит, она делит угол пополам: $\angle CDM = \angle ADM = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $ABM$. Он является прямоугольным, так как $\angle B = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, $\angle AMB = 180^\circ - \angle B - \angle BAM = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как $\angle BAM = \angle AMB = 45^\circ$, треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $AM$. Следовательно, $AB = BM$.

5. Рассмотрим треугольник $DCM$. Он является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, $\angle DMC = 180^\circ - \angle C - \angle CDM = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как $\angle CDM = \angle DMC = 45^\circ$, треугольник $DCM$ является равнобедренным с основанием $DM$. Следовательно, $DC = CM$.

6. В прямоугольнике противоположные стороны равны, то есть $AB = DC$. Из пунктов 4 и 5 следует, что $BM = AB$ и $CM = DC$. Поскольку $AB = DC$, то $BM = CM$. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $BC$.

7. Длина стороны $BC$ равна $BM + CM$. Так как $BM = CM = AB$, получаем $BC = AB + AB = 2AB$. Поскольку $AD = BC$ (противоположные стороны прямоугольника), то $AD = 2AB$.

8. Вернемся к прямоугольному треугольнику $ABM$. По теореме Пифагора: $AM^2 = AB^2 + BM^2$. Мы знаем, что $AM = 5$ см и $AB = BM$. Подставим эти значения: $5^2 = AB^2 + AB^2 \Rightarrow 25 = 2 \cdot AB^2 \Rightarrow AB^2 = \frac{25}{2} \Rightarrow AB = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ см}$.

9. Теперь найдем длину стороны $AD$: $AD = 2AB = 2 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$.

10. Площадь прямоугольника $ABCD$ вычисляется по формуле $S_{ABCD} = AB \cdot AD$. $S_{ABCD} = \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (5\sqrt{2}) = \frac{5 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{25 \cdot 2}{2} = 25 \text{ см}^2$.

Ответ: $25 \text{ см}^2$