Номер 350, страница 153 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

350. a) В $\triangle ABC$ проведены биссектриса $AN$ и отрезки $NM \parallel AC$, $NL \parallel AB$ ($M \in AB, L \in AC$). Докажите, что четырехугольник $AMNL$ – ромб.

б) Хорда $BC$ окружности с центром в точке $O$ перпендикулярна радиусу $OA$ и проходит через его середину. Докажите, что четырехугольник $ABOC$ – ромб.

а)

Дано:

В $\triangle ABC$ проведена биссектриса $AN$.

Отрезки $NM \parallel AC$ ($M \in AB$).

Отрезок $NL \parallel AB$ ($L \in AC$).

Найти:

Доказать, что четырехугольник $AMNL$ – ромб.

Решение:

1. По условию, $NM \parallel AC$ и $NL \parallel AB$. Поскольку противоположные стороны четырехугольника $AMNL$ попарно параллельны, то $AMNL$ является параллелограммом по определению.

2. Так как $AN$ – биссектриса угла $\angle BAC$, то $\angle MAN = \angle NAL$.

3. Поскольку $NL \parallel AB$ (или $NL \parallel AM$), то углы $\angle ANL$ и $\angle NAM$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $NL$ и $AM$ и секущей $AN$. Следовательно, $\angle ANL = \angle NAM$.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что $\angle NAL = \angle ANL$.

5. Рассмотрим треугольник $\triangle ANL$. У него углы $\angle NAL$ и $\angle ANL$ равны. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Следовательно, $AL = NL$.

6. Мы уже доказали, что $AMNL$ – параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $AM = NL$ и $AL = NM$.

7. Из $AL = NL$ (пункт 5) и $AM = NL$ (пункт 6) следует, что $AM = AL$.

8. Поскольку $AMNL$ – параллелограмм, у которого смежные стороны $AM$ и $AL$ равны, то $AMNL$ является ромбом (ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны: $AM = NL = AL = NM$).

Ответ: Четырехугольник $AMNL$ является ромбом.

б)

Дано:

Окружность с центром в точке $O$.

Хорда $BC$ окружности перпендикулярна радиусу $OA$ ($BC \perp OA$).

Хорда $BC$ проходит через середину радиуса $OA$.

Найти:

Доказать, что четырехугольник $ABOC$ – ромб.

Решение:

1. Пусть $K$ – точка пересечения хорды $BC$ и радиуса $OA$.

2. По условию, хорда $BC$ перпендикулярна радиусу $OA$, то есть $BC \perp OA$. Значит, $\angle OKB = \angle OKC = 90^\circ$.

3. Известно свойство окружности: радиус, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно, $K$ является серединой хорды $BC$, то есть $BK = KC$.

4. По условию, хорда $BC$ проходит через середину радиуса $OA$. Значит, $K$ является серединой $OA$, то есть $OK = KA$.

5. Рассмотрим четырехугольник $ABOC$. Его диагонали $OA$ и $BC$ пересекаются в точке $K$.

6. Мы установили, что точка $K$ делит обе диагонали пополам ($BK = KC$ и $OK = KA$). Следовательно, четырехугольник $ABOC$ является параллелограммом (по признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам).

7. Мы также знаем, что диагонали $OA$ и $BC$ перпендикулярны ($BC \perp OA$).

8. Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, является ромбом. Таким образом, $ABOC$ – ромб.

9. Дополнительно можно показать равенство сторон. Поскольку $ABOC$ - параллелограмм, $AB=OC$ и $AC=OB$. Все радиусы окружности равны: $OA = OB = OC = R$. Поскольку $K$ - середина $OA$, то $OK = KA = R/2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKB$. По теореме Пифагора $OB^2 = OK^2 + BK^2$. Подставляя значения: $R^2 = (R/2)^2 + BK^2$, откуда $R^2 = R^2/4 + BK^2$. Тогда $BK^2 = R^2 - R^2/4 = 3R^2/4$, и $BK = \frac{R\sqrt{3}}{2}$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle AKB$, $AB^2 = AK^2 + BK^2 = (R/2)^2 + (\frac{R\sqrt{3}}{2})^2 = R^2/4 + 3R^2/4 = R^2$. Значит, $AB = R$. Таким образом, $AB = OB = OC = R$. А поскольку $ABOC$ - параллелограмм, то $AB=OC$ и $AC=OB$, что означает $AB=AC=OB=OC=R$. Все стороны четырехугольника равны.

Ответ: Четырехугольник $ABOC$ является ромбом.