Номер 357, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

357. Точка $M$ симметрична вершине $D$ параллелограмма $ABCD$ относительно точки $C$. Докажите, что площадь этого параллелограмма равна площади треугольника $AMD$.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

Точка $M$ симметрична вершине $D$ относительно точки $C$.

Найти:

Доказать, что площадь параллелограмма $ABCD$ равна площади треугольника $AMD$ ($S_{ABCD} = S_{AMD}$).

Решение:

Пусть $h$ – высота параллелограмма $ABCD$, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $CD$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ вычисляется по формуле: $S_{ABCD} = CD \times h$.

По условию, точка $M$ симметрична вершине $D$ относительно точки $C$. Это означает, что точка $C$ является серединой отрезка $DM$.

Следовательно, отрезки $DC$ и $CM$ равны по длине: $DC = CM$.

Тогда длина отрезка $DM$ равна сумме длин $DC$ и $CM$: $DM = DC + CM$.

Подставив $CM = DC$, получаем: $DM = DC + DC = 2 \times DC$.

Рассмотрим треугольник $AMD$. Основанием этого треугольника можно взять отрезок $DM$.

Высота треугольника $AMD$, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую основание $DM$, будет той же самой высотой $h$. Это обусловлено тем, что прямая $DM$ совпадает с прямой $CD$, а высота $h$ по определению перпендикулярна этой прямой.

Площадь треугольника $AMD$ вычисляется по формуле: $S_{AMD} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.

Подставим известные значения: $S_{AMD} = \frac{1}{2} \times DM \times h$.

Заменим $DM$ на $2 \times DC$: $S_{AMD} = \frac{1}{2} \times (2 \times DC) \times h$.

Упростим выражение: $S_{AMD} = DC \times h$.

Сравнивая выражения для площадей, мы видим, что площадь параллелограмма $S_{ABCD} = DC \times h$ и площадь треугольника $S_{AMD} = DC \times h$.

Таким образом, $S_{ABCD} = S_{AMD}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна площади треугольника $AMD$.