Номер 363, страница 155 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

363. a) Выразите площадь равностороннего треугольника через его сторону, равную $a$.

б) Найдите сторону равностороннего треугольника, если его площадь равна $9\sqrt{3}$ см$^2$.

a) Выразите площадь равностороннего треугольника через его сторону, равную a.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ все углы равны по $60^{\circ}$. Чтобы найти площадь $S$, можно использовать формулу $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В данном случае основание равно $a$. Найдем высоту $h$.

Опустим высоту из одной вершины на противоположную сторону. Эта высота разделит равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В каждом таком прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $a$, один катет равен половине основания, т.е. $\frac{a}{2}$, а второй катет — это высота $h$.

По теореме Пифагора:

$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2$

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$

$h^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4}$

$h^2 = \frac{3a^2}{4}$

Извлечем квадратный корень:

$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим значение высоты в формулу площади треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Ответ:

Площадь равностороннего треугольника выражается формулой $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

б) Найдите сторону равностороннего треугольника, если его площадь равна $9\sqrt{3}$ см$^2$.

Дано:

Площадь равностороннего треугольника $S = 9\sqrt{3}$ см$^2$.

Перевод в СИ:

$S = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 = 9\sqrt{3} \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 9\sqrt{3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Сторона равностороннего треугольника $a$.

Решение:

Используем формулу площади равностороннего треугольника, выведенную в предыдущем пункте:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим известное значение площади $S = 9\sqrt{3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$ в формулу:

$9\sqrt{3} \cdot 10^{-4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$ (поскольку $\sqrt{3} \ne 0$):

$9 \cdot 10^{-4} = \frac{a^2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы найти $a^2$:

$a^2 = 9 \cdot 4 \cdot 10^{-4}$

$a^2 = 36 \cdot 10^{-4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, берем положительный корень:

$a = \sqrt{36 \cdot 10^{-4}}$

$a = 6 \cdot 10^{-2}$ м

Для удобства переведем полученное значение стороны обратно в сантиметры, так как исходная площадь была задана в см$^2$:

$a = 6 \cdot 10^{-2} \cdot 10^2 \text{ см}$

$a = 6 \text{ см}$

Ответ:

Сторона равностороннего треугольника равна 6 см.