Номер 356, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

356. Докажите, что все треугольники $ABC_1, ABC_2, ..., ABC_n$ равновелики, если точки $C_1, C_2, ..., C_n$ лежат на прямой, параллельной отрезку $AB$.

Дано:

Рассматриваются треугольники $ABC_1, ABC_2, \dots, ABC_n$.

Точки $C_1, C_2, \dots, C_n$ лежат на одной прямой.

Эта прямая, на которой лежат точки $C_k$, параллельна отрезку $AB$.

Найти:

Доказать, что все треугольники $ABC_1, ABC_2, \dots, ABC_n$ равновелики (то есть имеют равные площади).

Решение:

Площадь любого треугольника может быть вычислена по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$

Рассмотрим любой из заданных треугольников, например, $ABC_k$, где $k$ является целым числом от $1$ до $n$.

В каждом из этих треугольников отрезок $AB$ является общей стороной. Мы можем выбрать его в качестве основания. Длина этого основания, обозначим ее $|AB|$, является фиксированной и одинаковой для всех рассматриваемых треугольников.

Высота треугольника $ABC_k$, соответствующая основанию $AB$, представляет собой перпендикулярное расстояние от вершины $C_k$ до прямой, содержащей отрезок $AB$.

Согласно условию задачи, все точки $C_1, C_2, \dots, C_n$ лежат на одной прямой. При этом эта прямая параллельна отрезку $AB$ (а значит, и прямой, на которой лежит $AB$).

Известно, что расстояние между двумя параллельными прямыми является постоянной величиной. Следовательно, перпендикулярное расстояние от любой точки $C_k$ (которая лежит на одной из параллельных прямых) до другой параллельной прямой (содержащей $AB$) будет одинаковым для всех $k$.

Обозначим это постоянное расстояние (высоту) как $h$.

Таким образом, площадь любого треугольника $ABC_k$ может быть выражена следующей формулой: $S_{ABC_k} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h$

Поскольку длина основания $|AB|$ является константой, и высота $h$ также является константой (постоянным расстоянием между параллельными прямыми), то произведение $\frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h$ будет одинаковым для всех значений $k$.

Это означает, что площади всех треугольников $ABC_1, ABC_2, \dots, ABC_n$ равны между собой: $S_{ABC_1} = S_{ABC_2} = \dots = S_{ABC_n}$

Следовательно, все эти треугольники равновелики.

Ответ: Доказано.