Номер 353, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

353. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна к боковой стороне и лежит на биссектрисе угла при большем основании. Найдите углы трапеции.

Дано:

Трапеция ABCD - равнобедренная.AD || BC (AD - большее основание, BC - меньшее основание).Диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD ($AC \perp CD$).Диагональ AC является биссектрисой угла при большем основании $\angle DAB$.

Найти:

Углы трапеции: $\angle DAB$, $\angle ABC$, $\angle BCD$, $\angle CDA$.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD — большее основание, BC — меньшее основание. Диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, то есть $\angle ACD = 90^\circ$.

Также известно, что диагональ AC является биссектрисой угла при большем основании $\angle DAB$. Пусть $\angle DAB = \alpha$. Тогда $\angle DAC = \angle CAB = \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку трапеция ABCD равнобедренная, углы при основании AD равны: $\angle CDA = \angle DAB = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

Следовательно, $\angle CAD + \angle CDA + \angle ACD = 180^\circ$.

Подставим известные значения:$ \frac{\alpha}{2} + \alpha + 90^\circ = 180^\circ $

Объединим члены с $\alpha$:$ \frac{3\alpha}{2} = 180^\circ - 90^\circ $

$ \frac{3\alpha}{2} = 90^\circ $

Умножим обе части на 2:$ 3\alpha = 180^\circ $

Разделим на 3:$ \alpha = 60^\circ $

Таким образом, углы при большем основании равны:$\angle DAB = 60^\circ$$\angle CDA = 60^\circ$

В равнобедренной трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$.

$\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$$60^\circ + \angle ABC = 180^\circ$$\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Поскольку трапеция равнобедренная, углы при меньшем основании также равны:$\angle BCD = \angle ABC = 120^\circ$

Проверим условия:$\angle DAB = 60^\circ$. Диагональ AC делит его пополам: $\angle DAC = 30^\circ$.В $\triangle ACD$: $\angle DAC = 30^\circ$, $\angle CDA = 60^\circ$. Тогда $\angle ACD = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ$. Это подтверждает перпендикулярность AC и CD.

Ответ:

Углы трапеции равны $60^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $120^\circ$.