Номер 354, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

354. Боковая сторона $AB$ равнобедренной трапеции $ABCD$ равна основанию $BC$ и в 2 раза меньше основания $AD$. Докажите, что $AC \perp CD$.

Дано:

Трапеция $ABCD$ равнобедренная.

$AB = BC$

$AB = \frac{1}{2} AD$

Найти:

Доказать, что $AC \perp CD$.

Решение:

Пусть длина боковой стороны $AB$ равна $x$.

Из условия задачи следует, что $AB = BC = x$.

Также дано, что $AB$ в $2$ раза меньше основания $AD$, то есть $AD = 2 \cdot AB = 2x$.

Поскольку трапеция $ABCD$ равнобедренная, то ее боковые стороны равны: $CD = AB = x$.

Таким образом, мы имеем следующие длины сторон: $AB = BC = CD = x$ и $AD = 2x$.

Проведем из вершины $C$ отрезок $CE$, параллельный боковой стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.

Поскольку $BC \parallel AD$ (основания трапеции) и $CE \parallel AB$ (по построению), то четырехугольник $ABCE$ является параллелограммом.

Из свойств параллелограмма $ABCE$ следует, что противолежащие стороны равны: $AE = BC$ и $CE = AB$.

Так как $BC = x$ и $AB = x$, то $AE = x$ и $CE = x$.

Рассмотрим треугольник $CED$.

Длины его сторон: $CD = x$ (дано), $CE = x$ (из параллелограмма $ABCE$), и $ED = AD - AE$.

Поскольку $AD = 2x$ и $AE = x$, то $ED = 2x - x = x$.

Таким образом, все стороны треугольника $CED$ равны $x$: $CD = CE = ED = x$.

Следовательно, треугольник $CED$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle CDE = 60^\circ$.

В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Поэтому $\angle DAB = \angle CDE$.

Так как $\angle CDE = 60^\circ$, то $\angle DAB = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$.

Он является равнобедренным, так как $AB = BC = x$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$.

Следовательно, $\angle ABC + \angle DAB = 180^\circ$.

Тогда $\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны:

$\angle BCA = \angle BAC = (180^\circ - \angle ABC)/2 = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 60^\circ/2 = 30^\circ$.

Теперь найдем угол $\angle ACD$.

Угол $\angle BCD$ является углом трапеции. В равнобедренной трапеции углы при каждом из оснований равны. То есть $\angle BCD = \angle ABC$.

Так как $\angle ABC = 120^\circ$, то $\angle BCD = 120^\circ$.

Угол $\angle BCD$ состоит из двух углов: $\angle BCA$ и $\angle ACD$.

То есть $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$.

Подставим известные значения: $120^\circ = 30^\circ + \angle ACD$.

Отсюда $\angle ACD = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

Так как $\angle ACD = 90^\circ$, то отрезок $AC$ перпендикулярен отрезку $CD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.