Номер 361, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

361. a) Как можно измерить площадь цветочной клумбы формы ромба, используя мерную рулетку?

б) В комнате длиной 4 м, шириной 3,5 м, высотой 2,8 м имеется дверь размером $0,9 \text{ м} \times 2 \text{ м}$ и окно размером $1,5 \text{ м} \times 1,2 \text{ м}$. Сколько рулонов обоев потребуется для оклейки стен комнаты, если размеры обоев в рулоне $10 \text{ м} \times 0,5 \text{ м}$?

в) Катон-Карагайский национальный природный парк, через который проходил Великий Шелковый путь, является одним из самых больших в Казахстане. Выразите его площадь (в кв. м) числом, записанным в стандартном виде, если она равна площади прямоугольного треугольника с гипотенузой $2 \cdot 10^5 \text{ м}$ и углом $70^\circ$.

a) Как можно измерить площадь цветочной клумбы формы ромба, используя мерную рулетку?

Для измерения площади цветочной клумбы, имеющей форму ромба, с помощью мерной рулетки можно использовать один из следующих методов:

1. Измерение диагоналей: Измерьте длины обеих диагоналей ромба ($d_1$ и $d_2$). Площадь ромба ($S$) вычисляется как половина произведения длин его диагоналей: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

2. Измерение стороны и высоты: Измерьте длину одной стороны ромба ($a$) и высоту ($h$), проведенную к этой стороне (перпендикуляр от одной вершины к противоположной стороне). Площадь ромба ($S$) вычисляется как произведение длины стороны на высоту: $S = a \cdot h$. Для измерения высоты может потребоваться построение перпендикуляра с помощью вспомогательных измерений рулеткой, например, методом "треугольника" или используя свойства прямоугольного треугольника.

Наиболее простым и точным способом при использовании только рулетки является измерение диагоналей.

Ответ:

Площадь ромба можно измерить, измерив длины его диагоналей $d_1$ и $d_2$ и вычислив по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Или измерив длину стороны $a$ и высоту $h$ к этой стороне, вычислив по формуле $S = a \cdot h$.

б) В комнате длиной 4 м, шириной 3,5 м, высотой 2,8 м имеется дверь размером 0,9 м × 2 м и окно размером 1,5 м × 1,2 м. Сколько рулонов обоев потребуется для оклейки стен комнаты, если размеры обоев в рулоне 10 м × 0,5 м?

Дано:

Длина комнаты ($L_к$) = 4 м

Ширина комнаты ($W_к$) = 3,5 м

Высота комнаты ($H_к$) = 2,8 м

Размеры двери ($L_д \times W_д$) = 0,9 м $\times$ 2 м

Размеры окна ($L_о \times W_о$) = 1,5 м $\times$ 1,2 м

Размеры обоев в рулоне ($L_{об} \times W_{об}$) = 10 м $\times$ 0,5 м

Перевод в СИ:

Все величины уже представлены в системе СИ (метры), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Количество рулонов обоев ($N$)

Решение:

1. Вычислим периметр комнаты:

$P_к = 2 \cdot (L_к + W_к) = 2 \cdot (4 \text{ м} + 3.5 \text{ м}) = 2 \cdot 7.5 \text{ м} = 15 \text{ м}$

2. Вычислим общую площадь стен комнаты:

$S_{стен} = P_к \cdot H_к = 15 \text{ м} \cdot 2.8 \text{ м} = 42 \text{ м}^2$

3. Вычислим площадь двери:

$S_д = L_д \cdot W_д = 0.9 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 1.8 \text{ м}^2$

4. Вычислим площадь окна:

$S_о = L_о \cdot W_о = 1.5 \text{ м} \cdot 1.2 \text{ м} = 1.8 \text{ м}^2$

5. Вычислим площадь стен, которую необходимо оклеить (за вычетом площади двери и окна):

$S_{поклейки} = S_{стен} - S_д - S_о = 42 \text{ м}^2 - 1.8 \text{ м}^2 - 1.8 \text{ м}^2 = 42 \text{ м}^2 - 3.6 \text{ м}^2 = 38.4 \text{ м}^2$

6. Вычислим площадь одного рулона обоев:

$S_{рулон} = L_{об} \cdot W_{об} = 10 \text{ м} \cdot 0.5 \text{ м} = 5 \text{ м}^2$

7. Вычислим необходимое количество рулонов обоев. Поскольку рулоны продаются целыми, результат необходимо округлить в большую сторону:

$N = \frac{S_{поклейки}}{S_{рулон}} = \frac{38.4 \text{ м}^2}{5 \text{ м}^2} = 7.68$

Округляем до ближайшего целого числа в большую сторону: $N = 8$ рулонов.

Ответ: 8 рулонов

в) Катон-Карагайский национальный природный парк, через который проходил Великий Шелковый путь, является одним из самых больших в Казахстане. Выразите его площадь (в кв. м) числом, записанным в стандартном виде, если она равна площади прямоугольного треугольника с гипотенузой $2 \cdot 10^5$ м и углом $70^\circ$.

Дано:

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника ($c$) = $2 \cdot 10^5$ м

Один из острых углов ($\alpha$) = $70^\circ$

Перевод в СИ:

Все величины уже представлены в системе СИ (метры, градусы), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Площадь парка ($S_{парк}$) в стандартном виде (в квадратных метрах).

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ - катеты. Катеты можно выразить через гипотенузу $c$ и угол $\alpha$:

$a = c \cdot \sin(\alpha)$

$b = c \cdot \cos(\alpha)$

Тогда площадь $S$ будет:

$S = \frac{1}{2} (c \cdot \sin(\alpha)) (c \cdot \cos(\alpha)) = \frac{1}{2} c^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$

Используем тригонометрическое тождество $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$, из которого следует $\sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.

Подставим это в формулу для площади:

$S = \frac{1}{2} c^2 \left( \frac{1}{2} \sin(2\alpha) \right) = \frac{1}{4} c^2 \sin(2\alpha)$

Теперь подставим известные значения:

$c = 2 \cdot 10^5 \text{ м}$

$\alpha = 70^\circ$

$2\alpha = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$

Найдем значение $\sin(140^\circ)$. Известно, что $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, поэтому $\sin(140^\circ) = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin(40^\circ)$.

Используем значение $\sin(40^\circ) \approx 0.6427876$

$S_{парк} = \frac{1}{4} (2 \cdot 10^5 \text{ м})^2 \sin(140^\circ)$

$S_{парк} = \frac{1}{4} (4 \cdot 10^{10} \text{ м}^2) \sin(140^\circ)$

$S_{парк} = (1 \cdot 10^{10} \text{ м}^2) \cdot \sin(140^\circ)$

$S_{парк} \approx 10^{10} \cdot 0.6427876 \text{ м}^2$

$S_{парк} \approx 6.427876 \cdot 10^9 \text{ м}^2$

Запишем число в стандартном виде, округлив до нескольких значащих цифр, например, до четырех:

$S_{парк} \approx 6.428 \cdot 10^9 \text{ м}^2$

Ответ: $6.428 \cdot 10^9 \text{ м}^2$