Номер 358, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

358. a) В треугольнике $ABC$ известны $AC = 20$ см, $AB = 11$ см и высота $BH = 6.6$ см. Найдите высоту $CD$.

б) В равнобедренном $\triangle ABC$ с основанием $AC$ отрезки $AD$ и $BH$ его высоты. Найдите $CD$, если $BH = 9$ см, $\sin A = 0.6$.

a)

Дано
Треугольник $ABC$.
$AC = 20$ см
$AB = 11$ см
$BH = 6.6$ см (высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$)

Перевод в систему СИ:
$AC = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
$AB = 11 \text{ см} = 0.11 \text{ м}$
$BH = 6.6 \text{ см} = 0.066 \text{ м}$

Найти:
$CD$ (высота, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$)

Решение
Площадь треугольника $ABC$ может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

1. Найдем площадь треугольника $ABC$, используя основание $AC$ и высоту $BH$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 0.2 \text{ м} \cdot 0.066 \text{ м} = 0.1 \cdot 0.066 \text{ м}^2 = 0.0066 \text{ м}^2$.

2. Та же площадь может быть выражена с использованием основания $AB$ и высоты $CD$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$

3. Приравняем два выражения для площади и найдем $CD$:
$0.0066 \text{ м}^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.11 \text{ м} \cdot CD$
$0.0132 = 0.11 \cdot CD$
$CD = \frac{0.0132}{0.11} = 0.12 \text{ м}$.

4. Переведем результат в сантиметры:
$CD = 0.12 \text{ м} = 12 \text{ см}$.

Ответ: $CD = 12$ см

б)

Дано
Равнобедренный $\triangle ABC$ с основанием $AC$.
$AD$ - высота (из вершины $A$ на сторону $BC$).
$BH$ - высота (из вершины $B$ на сторону $AC$).
$BH = 9$ см
$\sin A = 0.6$

Перевод в систему СИ:
$BH = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$
$\sin A = 0.6$ (безразмерная величина)

Найти:
$CD$

Решение
1. Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то боковые стороны равны $AB = BC$, а углы при основании равны $\angle A = \angle C$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (так как $BH$ - высота, $\angle AHB = 90^\circ$).
Из определения синуса угла:
$\sin A = \frac{BH}{AB}$
$0.6 = \frac{0.09 \text{ м}}{AB}$
$AB = \frac{0.09}{0.6} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20} = 0.15 \text{ м}$.
Так как $AB = BC$, то $BC = 0.15 \text{ м}$.

3. Найдем косинус угла $C$. Поскольку $\angle C = \angle A$, то $\sin C = 0.6$.
$\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C}$ (так как $C$ - угол треугольника, он острый, и косинус положителен).
$\cos C = \sqrt{1 - (0.6)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$.

4. Найдем длину отрезка $AH$. В прямоугольном $\triangle ABH$ по теореме Пифагора:
$AH^2 = AB^2 - BH^2$
$AH^2 = (0.15 \text{ м})^2 - (0.09 \text{ м})^2 = 0.0225 \text{ м}^2 - 0.0081 \text{ м}^2 = 0.0144 \text{ м}^2$.
$AH = \sqrt{0.0144} = 0.12 \text{ м}$.

5. Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный и $BH$ является высотой, опущенной на основание, то $BH$ также является медианой. Следовательно, $H$ - середина $AC$.
$AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 0.12 \text{ м} = 0.24 \text{ м}$.

6. Высота $AD$ опущена из вершины $A$ на сторону $BC$. Следовательно, $\triangle ADC$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при $D$. В этом треугольнике $CD$ - катет, $AC$ - гипотенуза.
Из определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$:
$\cos C = \frac{CD}{AC}$
$CD = AC \cdot \cos C$
$CD = 0.24 \text{ м} \cdot 0.8 = 0.192 \text{ м}$.

7. Переведем результат в сантиметры:
$CD = 0.192 \text{ м} = 19.2 \text{ см}$.

Ответ: $CD = 19.2$ см