Номер 365, страница 155 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

365. В равнобедренном $\Delta ABC$ на основании $AC$ взята точка $K$ так, что $AK : KC = 1 : 2$, а на сторонах $AB$ и $BC$ – точки $N$ и $M$ соответственно, так что $KN \parallel BC$, $KM \parallel AB$, периметр четырехугольника $KNBM$ равен 12 см. Найдите боковую сторону $\Delta ABC$ и его площадь, если $\angle B = 45^\circ$.

Дано:

Треугольник $\triangle ABC$ равнобедренный, основание $AC$.

Точка $K$ на $AC$ такая, что $AK : KC = 1 : 2$.

Точки $N$ на $AB$ и $M$ на $BC$.

$KN \parallel BC$.

$KM \parallel AB$.

Периметр четырехугольника $KNBM$, $P_{KNBM} = 12$ см.

Угол $\angle B = 45^\circ$.

Перевод данных в систему СИ:

$P_{KNBM} = 12$ см $= 0.12$ м.

$\angle B = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ радиан.

Найти:

Боковую сторону $\triangle ABC$ ($AB$ или $BC$).

Площадь $\triangle ABC$ ($S_{ABC}$).

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник $KNBM$. Из условия дано, что $KN \parallel BC$ и $KM \parallel AB$. Поскольку точки $N$ и $M$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно, то $BN$ является частью $AB$ и $BM$ является частью $BC$. Таким образом, $KN \parallel BM$ и $KM \parallel BN$. Это означает, что четырехугольник $KNBM$ является параллелограммом.

2. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $KN = BM$ и $KM = BN$.

3. Периметр параллелограмма $P_{KNBM} = KN + NB + BM + MK = 2(KN + NB)$.

По условию $P_{KNBM} = 12$ см, следовательно, $2(KN + NB) = 12$ см, откуда $KN + NB = 6$ см.

4. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то $AB = BC$. Пусть $AB = BC = x$.

5. Из условия $AK : KC = 1 : 2$ следует, что $AK = y$ и $KC = 2y$ для некоторого $y$. Тогда $AC = AK + KC = y + 2y = 3y$.

6. Рассмотрим подобие треугольников:

а) Поскольку $KN \parallel BC$, то $\triangle AKN \sim \triangle ABC$ по двум углам (общий угол $\angle A$ и соответственные углы $\angle ANK = \angle ABC$).

Из подобия следует отношение сторон:

$\frac{AK}{AC} = \frac{AN}{AB} = \frac{KN}{BC}$.

Мы знаем $\frac{AK}{AC} = \frac{y}{3y} = \frac{1}{3}$.

Значит, $\frac{KN}{BC} = \frac{1}{3} \implies KN = \frac{1}{3} BC = \frac{1}{3} x$.

И $\frac{AN}{AB} = \frac{1}{3} \implies AN = \frac{1}{3} AB = \frac{1}{3} x$.

Тогда $NB = AB - AN = x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x$.

б) Поскольку $KM \parallel AB$, то $\triangle CKM \sim \triangle CBA$ по двум углам (общий угол $\angle C$ и соответственные углы $\angle CMK = \angle CBA$).

Из подобия следует отношение сторон:

$\frac{CK}{AC} = \frac{CM}{BC} = \frac{KM}{AB}$.

Мы знаем $\frac{CK}{AC} = \frac{2y}{3y} = \frac{2}{3}$.

Значит, $\frac{KM}{AB} = \frac{2}{3} \implies KM = \frac{2}{3} AB = \frac{2}{3} x$.

И $\frac{CM}{BC} = \frac{2}{3} \implies CM = \frac{2}{3} BC = \frac{2}{3} x$.

Тогда $BM = BC - CM = x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x$.

7. Теперь подставим найденные выражения для $KN$ и $NB$ в уравнение периметра $KN + NB = 6$ см:

$\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x = 6$

$\frac{3}{3}x = 6$

$x = 6$ см.

Таким образом, боковая сторона $\triangle ABC$ равна $6$ см.

8. Найдем площадь $\triangle ABC$. Для площади треугольника используется формула $S = \frac{1}{2}ab \sin C$, где $a$ и $b$ - стороны, а $C$ - угол между ними.

В нашем случае, $AB = BC = x = 6$ см, и угол между ними $\angle B = 45^\circ$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle B$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 45^\circ$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S_{ABC} = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S_{ABC} = 9\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ:

Боковая сторона $\triangle ABC$ равна $6$ см.

Площадь $\triangle ABC$ равна $9\sqrt{2}$ см$^2$.