Номер 372, страница 156 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

372. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон равна высоте данного треугольника.

Дано:

Равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$.

Точка $P$ находится внутри треугольника $ABC$.

Расстояния от точки $P$ до сторон $BC$, $AC$, $AB$ обозначены как $h_1$, $h_2$, $h_3$ соответственно.

Высота треугольника $ABC$ обозначена как $H$.

Перевод в СИ:

Все величины уже представлены в общих геометрических терминах и не требуют перевода в конкретные единицы СИ.

Найти:

Доказать, что $h_1 + h_2 + h_3 = H$.

Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$ и высоту $H$. Площадь этого треугольника $S_{ABC}$ можно выразить по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H$.

Пусть $P$ - произвольная точка внутри треугольника $ABC$. Проведем отрезки из точки $P$ к вершинам треугольника: $PA$, $PB$, $PC$. Эти отрезки делят исходный треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $PBC$, $PCA$ и $PAB$.

Сумма площадей этих трех меньших треугольников равна площади исходного треугольника $ABC$:$S_{ABC} = S_{PBC} + S_{PCA} + S_{PAB}$.

Расстояния от точки $P$ до сторон треугольника являются высотами этих меньших треугольников, опущенными из вершины $P$ на соответствующие стороны.Таким образом, площади меньших треугольников могут быть выражены следующим образом:

• Площадь треугольника $PBC$: $S_{PBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1$. Так как $BC = a$, то $S_{PBC} = \frac{1}{2} a h_1$.

• Площадь треугольника $PCA$: $S_{PCA} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_2$. Так как $AC = a$, то $S_{PCA} = \frac{1}{2} a h_2$.

• Площадь треугольника $PAB$: $S_{PAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_3$. Так как $AB = a$, то $S_{PAB} = \frac{1}{2} a h_3$.

Подставим эти выражения в уравнение для общей площади:

$\frac{1}{2} a H = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 + \frac{1}{2} a h_3$.

Мы можем вынести общий множитель $\frac{1}{2} a$ из правой части уравнения:

$\frac{1}{2} a H = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3)$.

Поскольку $a$ является длиной стороны треугольника, $a \neq 0$. Также $\frac{1}{2} \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\frac{1}{2} a$:

$H = h_1 + h_2 + h_3$.

Это доказывает, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон равна высоте данного треугольника.

Ответ: Доказано.