Номер 4, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

4. Существует ли выпуклый четырехугольник, три из сторон которого равны 5 см, 10 см, 12 см, а его периметр равен:

а) 80 см;

б) 45 см? Ответ объясните.

Для существования выпуклого многоугольника (в частности, четырехугольника) необходимо, чтобы длина любой его стороны была меньше суммы длин остальных сторон. Это является обобщением неравенства треугольника.

В задаче даны три стороны четырехугольника: $a = 5$ см, $b = 10$ см, $c = 12$ см. Сумма длин этих трех сторон равна:

$5 + 10 + 12 = 27$ см.

Пусть $d$ — длина четвертой стороны.

а)

Если периметр четырехугольника равен 80 см, то найдем длину четвертой стороны $d$:

$d = 80 - (5 + 10 + 12) = 80 - 27 = 53$ см.

Теперь проверим, выполняется ли основное условие существования многоугольника. Самая длинная сторона равна 53 см. Сравним ее с суммой длин остальных трех сторон:

$53 < 5 + 10 + 12$

$53 < 27$

Это неравенство неверно, так как 53 больше 27. Следовательно, выпуклый четырехугольник с такими сторонами не может существовать.

Ответ: не существует.

б)

Если периметр четырехугольника равен 45 см, то найдем длину четвертой стороны $d$:

$d = 45 - (5 + 10 + 12) = 45 - 27 = 18$ см.

Стороны четырехугольника равны 5 см, 10 см, 12 см и 18 см. Самая длинная сторона равна 18 см. Сравним ее с суммой длин остальных трех сторон:

$18 < 5 + 10 + 12$

$18 < 27$

Это неравенство верно. Так как условие выполняется для самой длинной стороны, оно будет выполняться и для всех остальных сторон. Следовательно, выпуклый четырехугольник с такими сторонами существует.

Ответ: существует.