Номер 10, страница 162 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

10. Найдите неизвестные элементы ромба:

a)

$AD = 31$

$\angle DAO = 40^\circ$

$P_{ABCD} - ?$

$\angle DAB - ?$

$\angle ABC - ?$

б)

$\angle ADO = 45^\circ$

$BC = x$

$P_{ABCD} = 44$

$\angle DAB - ?$

$\angle ADC - ?$

$x - ?$

в)

$BO = 13$

$\angle ACB = 30^\circ$

$BC - ?$

г)

$AD = 18$

$\angle ODC = 60^\circ$

$DO - ?$

д)

$\angle ODC = \beta$

$\angle OCD = \alpha$

$OD = \frac{1}{2}DC$

$AB = 10$

$P_{ABCD} - ?$

$\alpha - ?$

$\beta - ?$

е)

$AD = x$

$\angle OBC = \beta$

$\angle OCB = \alpha$

$BC = 2OB$

$P_{ABCD} = 56$

$x - ?$

$\alpha - ?$

$\beta - ?$

ж)

$\angle CAD = 30^\circ$

$P_{ABCD} = 36$

$BD - ?$

з)

$\angle BAC = 30^\circ$

$P_{ABCD} = 84$

$BO - ?$

и)

$AC = 18$

$\angle ADC = 60^\circ$

$P_{ABCD} - ?$

к)

$BD = 30$

$\angle ADB = 60^\circ$

$P_{ABCD} - ?$

а) В ромбе все стороны равны, поэтому сторона $AD = 31$. Периметр ромба $P_{ABCD}$ вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ – длина стороны. $P_{ABCD} = 4 \times 31 = 124$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $\angle DAB = 2 \times \angle BAO = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$. Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, следовательно $\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
Ответ: $P_{ABCD} = 124$, $\angle DAB = 80^\circ$, $\angle ABC = 100^\circ$.

б) Периметр ромба равен $P = 4a$, где $a$ – сторона ромба. $44 = 4a$, откуда $a = 11$. Все стороны ромба равны, поэтому $x = BC = 11$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $\angle ADC = 2 \times \angle ADO = 2 \times 45^\circ = 90^\circ$. Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, следовательно $\angle DAB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Ответ: $\angle DAB = 90^\circ$, $\angle ADC = 90^\circ$, $x = 11$.

в) Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, значит $\triangle BOC$ – прямоугольный ($\angle BOC = 90^\circ$). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В $\triangle BOC$ катет $BO$ лежит против угла $\angle BCO = 30^\circ$. Следовательно, $BO = \frac{1}{2} BC$. Отсюда $BC = 2 \times BO = 2 \times 13 = 26$.
Ответ: $BC = 26$.

г) Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому $\triangle AOD$ – прямоугольный с $\angle AOD = 90^\circ$. В $\triangle AOD$ гипотенуза $AD = 18$ и угол $\angle OAD = 60^\circ$. Катет $DO$ является противолежащим этому углу. По определению синуса: $\sin(\angle OAD) = \frac{DO}{AD}$. $\sin(60^\circ) = \frac{DO}{18}$. Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{DO}{18}$. Отсюда $DO = 18 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$.
Ответ: $DO = 9\sqrt{3}$.

д) Стороны ромба равны, $AB = 10$, значит $P_{ABCD} = 4 \times 10 = 40$. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому $\triangle ODC$ – прямоугольный ($\angle DOC = 90^\circ$). По условию $OD = \frac{1}{2} DC$. В прямоугольном треугольнике катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла в $30^\circ$. Катет $OD$ лежит против угла $\angle OCD = \alpha$, следовательно $\alpha = 30^\circ$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому $\beta = \angle ODC = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
Ответ: $P_{ABCD} = 40$, $\alpha = 30^\circ$, $\beta = 60^\circ$.

е) Периметр ромба $P_{ABCD} = 56$, значит сторона ромба равна $56 / 4 = 14$. Таким образом, $x = AD = 14$ и $BC = 14$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OBC$ ($\angle BOC = 90^\circ$). По условию $BC = 2OB$, то есть гипотенуза в два раза больше катета $OB$. Угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$, то есть $\angle OCB = 30^\circ$. Диагонали ромба являются биссектрисами, поэтому $\angle BCD = 2 \times \angle OCB = 60^\circ$. Угол $\alpha = \angle OCD = \angle OCB = 30^\circ$. В $\triangle OBC$ сумма острых углов $90^\circ$, поэтому $\beta = \angle CBO = 90^\circ - \angle OCB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
Ответ: $x = 14$, $\alpha = 30^\circ$, $\beta = 60^\circ$.

ж) Периметр ромба $P_{ABCD} = 36$, значит сторона ромба равна $36 / 4 = 9$. Диагональ является биссектрисой, поэтому $\angle DAB = 2 \times \angle CAD = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Так как $AB = AD = 9$ (стороны ромба), то он равнобедренный. Угол при вершине $\angle DAB = 60^\circ$. Следовательно, углы при основании равны $\angle ABD = \angle ADB = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Так как все углы $\triangle ABD$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Значит, диагональ $BD = AB = AD = 9$.
Ответ: $BD = 9$.

з) Периметр ромба $P_{ABCD} = 84$, значит сторона ромба равна $84 / 4 = 21$. Аналогично предыдущей задаче, из условия $\angle CAD = 30^\circ$ следует, что $\angle DAB = 60^\circ$, а треугольник $\triangle ABD$ является равносторонним. Таким образом, диагональ $BD$ равна стороне ромба, $BD = 21$. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, поэтому $BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \times 21 = 10.5$.
Ответ: $BO = 10.5$.

и) Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Так как $AD=DC$ (стороны ромба), он является равнобедренным. Углы при основании $AC$ равны: $\angle DAC = \angle DCA = (180^\circ - \angle ADC) / 2 = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Все углы $\triangle ADC$ равны $60^\circ$, следовательно, он равносторонний. Значит, сторона ромба равна диагонали $AC$, то есть $AD = DC = AC = 18$. Периметр ромба $P_{ABCD} = 4 \times 18 = 72$.
Ответ: $P_{ABCD} = 72$.

к) Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle DAB$, поэтому $\angle DAB = 2 \times \angle CAD = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$. Рассмотрим $\triangle ABD$. Он равнобедренный, так как $AB = AD$ (стороны ромба). Обозначим сторону ромба через $a$. По теореме косинусов для $\triangle ABD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$. Подставим известные значения: $30^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$. Так как $\cos(120^\circ) = -0.5$: $900 = 2a^2 - 2a^2(-0.5) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$. Отсюда $a^2 = 300$, и $a = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$. Периметр ромба $P_{ABCD} = 4a = 4 \times 10\sqrt{3} = 40\sqrt{3}$.
Ответ: $P_{ABCD} = 40\sqrt{3}$.