Номер 17, страница 167 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

17. В параллелограмме $ABCD$ из вершины $B$ к сторонам $AD$ и $CD$ проведены перпендикуляры $BH$ и $BK$ соответственно, угол $HBK$ равен $64^\circ$. Найдите углы параллелограмма $ABCD$.

а) $26^\circ, 154^\circ, 26^\circ, 154^\circ$;

б) $52^\circ, 128^\circ, 52^\circ, 128^\circ$;

в) $56^\circ, 124^\circ, 56^\circ, 124^\circ$;

г) $58^\circ, 122^\circ, 58^\circ, 122^\circ$;

д) $64^\circ, 116^\circ, 64^\circ, 116^\circ$.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Из вершины $B$ проведены перпендикуляры $BH$ к прямой, содержащей сторону $AD$, и $BK$ к прямой, содержащей сторону $CD$. По условию $\angle HBK = 64^\circ$.
Рассмотрим четырехугольник $HBKD$. Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $360^\circ$.
$\angle D + \angle BHD + \angle HBK + \angle BKD = 360^\circ$.
1. Угол $\angle KDH$ четырехугольника $HBKD$ является углом $\angle D$ параллелограмма $ABCD$.
2. Так как $BH$ является перпендикуляром к прямой $AD$, то угол при вершине $H$ в четырехугольнике $HBKD$ прямой: $\angle BHD = 90^\circ$.
3. Аналогично, так как $BK$ является перпендикуляром к прямой $CD$, то угол при вершине $K$ прямой: $\angle BKD = 90^\circ$.
4. Угол $\angle HBK$ дан по условию и равен $64^\circ$.

Подставим известные значения в формулу суммы углов четырехугольника:
$\angle D + 90^\circ + 64^\circ + 90^\circ = 360^\circ$
$\angle D + 244^\circ = 360^\circ$
$\angle D = 360^\circ - 244^\circ$
$\angle D = 116^\circ$

Теперь найдем остальные углы параллелограмма, используя его свойства:
- Противолежащие углы параллелограмма равны, следовательно, $\angle B = \angle D = 116^\circ$.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle A = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.
- Так как $\angle C$ противоположен углу $\angle A$, то $\angle C = \angle A = 64^\circ$.

Таким образом, углы параллелограмма равны $64^\circ$, $116^\circ$, $64^\circ$, $116^\circ$.
Ответ: Углы параллелограмма равны $64^\circ, 116^\circ, 64^\circ, 116^\circ$.