Номер 21, страница 168 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

21. Дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $\angle D = 90^\circ$, $\angle ABD = \angle DBC = 60^\circ$, $CD = b$, $BD = a$. Найдите периметр трапеции.

а) $b + 4a$;

б) $b + 2,5a$;

в) $1,5b + 2a$;

г) $2(b + a)$;

д) $3b + 0,5a$.

Решение:

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$. Условие $\angle D = 90^\circ$ и тот факт, что это трапеция, позволяют нам определить ее геометрию. Предположим, что $AD$ и $BC$ являются основаниями ($AD \parallel BC$). В этом случае, если $\angle D = 90^\circ$, то боковая сторона $CD$ перпендикулярна основанию $AD$. Так как $BC \parallel AD$, то $CD$ перпендикулярна и $BC$, а значит, $\angle C = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$, в котором $\angle C = 90^\circ$. По условию, гипотенуза $BD = a$ и угол $\angle DBC = 60^\circ$. Катет $CD$ равен $b$.

Из определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике найдем длину катета $BC$:
$BC = BD \cdot \cos(\angle DBC) = a \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = 0,5a$.

Также найдем второй острый угол в этом треугольнике:
$\angle BDC = 90^\circ - \angle DBC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Теперь проанализируем треугольник $ABD$. Угол трапеции при вершине $D$ равен $\angle ADC = 90^\circ$. Этот угол состоит из двух частей: $\angle ADB$ и $\angle BDC$. Мы можем найти угол $\angle ADB$:
$\angle ADB = \angle ADC - \angle BDC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В треугольнике $ABD$ нам известны два угла: $\angle ABD = 60^\circ$ (по условию) и $\angle ADB = 60^\circ$ (как мы только что нашли). Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle DAB$ также равен:
$\angle DAB = 180^\circ - \angle ABD - \angle ADB = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

Поскольку все три угла в треугольнике $ABD$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны длине известной стороны $BD$:
$AB = AD = BD = a$.

Теперь мы знаем длины всех четырех сторон трапеции:
$AB = a$
$BC = 0,5a$
$CD = b$
$AD = a$

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон:
$P = AB + BC + CD + AD = a + 0,5a + b + a = 2,5a + b$.

Ответ: $b + 2,5a$.