Номер 22, страница 168 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Тренировочные упражнения - номер 22, страница 168.

Условие.

Заполните пропуски (22–28).

22. Если провести два перпендикулярных диаметра окружности и последовательно соединить их концы отрезками, то полученный четырехугольник является ....

Решение.

Решение 2 (rus).

22.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Проведем в этой окружности два взаимно перпендикулярных диаметра, например $AC$ и $BD$. Поскольку это диаметры, они проходят через центр окружности $O$ и их длина равна $2R$. По условию, они пересекаются под прямым углом, то есть $AC \perp BD$.

Концы этих диаметров — точки $A$, $B$, $C$ и $D$ — лежат на окружности. Соединим последовательно эти точки отрезками. Получим четырехугольник $ABCD$.

Чтобы определить вид этого четырехугольника, рассмотрим его свойства:

1. Анализ диагоналей. Диагоналями четырехугольника $ABCD$ являются отрезки $AC$ и $BD$. По построению, это два диаметра окружности. Значит, их длины равны: $AC = BD = 2R$. По условию задачи, эти диаметры перпендикулярны: $AC \perp BD$. Так как они оба проходят через центр $O$, они делят друг друга пополам в точке пересечения. Четырехугольник, диагонали которого равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является квадратом.

2. Анализ сторон. Диагонали делят четырехугольник на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Рассмотрим любой из них, например, $\triangle AOB$. Его стороны $AO$ и $BO$ являются радиусами окружности, поэтому $AO = BO = R$. Угол $\angle AOB = 90^\circ$, так как диаметры перпендикулярны. Таким образом, $\triangle AOB$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Аналогично, треугольники $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$ также являются равными ему равнобедренными прямоугольными треугольниками (равенство по двум катетам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз, которые являются сторонами четырехугольника $ABCD$: $AB = BC = CD = DA$. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

По теореме Пифагора для $\triangle AOB$: $AB^2 = AO^2 + BO^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$. Длина каждой стороны равна $AB = R\sqrt{2}$.

Поскольку все четыре треугольника являются равнобедренными прямоугольными, их острые углы равны $45^\circ$. Например, $\angle OAB = \angle OBA = 45^\circ$. Углы четырехугольника $ABCD$ состоят из двух таких углов. Например, $\angle DAB = \angle DAO + \angle OAB = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$. Аналогично, все остальные углы четырехугольника также равны $90^\circ$.

Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, является квадратом. Также ромб, у которого есть хотя бы один прямой угол (или у которого равны диагонали), является квадратом.

Следовательно, полученный четырехугольник является квадратом.

Ответ: квадратом.