Номер 29, страница 170 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

29. Найдите неизвестные элементы треугольника:

а) cos $\alpha$ ?

б) cos $\beta$ ?

в) $c$-?

г) $b$-?

д) $c$-?

е) $c$-?

ж) $x$-?

з) $x$-?

и) $AB$-? $P_{ABC}$-?

к) $AC = 5\sqrt{2}$ $AB$-? $CD$-?

л) $AB$-?

м) $AB$-?

а) В данном прямоугольном треугольнике прилежащий к углу $ \alpha $ катет равен 12, а гипотенуза равна 13. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Таким образом, $ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{12}{13} $.
Ответ: $ \frac{12}{13} $.

б) В данном прямоугольном треугольнике прилежащий к углу $ \beta $ катет равен 4, а гипотенуза равна 5. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Таким образом, $ \cos \beta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{4}{5} $.
Ответ: $ \frac{4}{5} $.

в) Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Неизвестная сторона $ c $ является гипотенузой. По теореме Пифагора $ a^2 + b^2 = c^2 $. Подставим значения катетов: $ c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 $. Следовательно, $ c = \sqrt{100} = 10 $.
Ответ: 10.

г) Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой 26 и одним катетом 24. Неизвестная сторона $ b $ является вторым катетом. По теореме Пифагора $ a^2 + b^2 = c^2 $. Отсюда $ b^2 = c^2 - a^2 $. Подставим значения: $ b^2 = 26^2 - 24^2 = 676 - 576 = 100 $. Следовательно, $ b = \sqrt{100} = 10 $.
Ответ: 10.

д) Дан прямоугольный треугольник с катетами 16 и 12. Неизвестная сторона $ c $ является гипотенузой. По теореме Пифагора $ c^2 = a^2 + b^2 $. Подставим значения катетов: $ c^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400 $. Следовательно, $ c = \sqrt{400} = 20 $.
Ответ: 20.

е) Дан прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Неизвестная сторона $ c $ является гипотенузой. По теореме Пифагора $ c^2 = a^2 + b^2 $. Подставим значения катетов: $ c^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 $. Следовательно, $ c = \sqrt{225} = 15 $.
Ответ: 15.

ж) Дан прямоугольный треугольник с углом $ 30^{\circ} $ и противолежащим ему катетом, равным 6. Неизвестная сторона $ x $ является прилежащим катетом. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $ \tan(30^{\circ}) = \frac{6}{x} $. Так как $ \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} $, получаем уравнение $ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{x} $, откуда $ x = 6\sqrt{3} $.
Ответ: $ 6\sqrt{3} $.

з) Дан прямоугольный треугольник с углом $ 30^{\circ} $ и гипотенузой, равной 10. Неизвестная сторона $ x $ является катетом, противолежащим углу $ 30^{\circ} $. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $ 30^{\circ} $, равен половине гипотенузы. Таким образом, $ x = \frac{10}{2} = 5 $.
Ответ: 5.

и) Дан равнобедренный треугольник $ ABC $ (отмечено, что $ AB=BC $), в котором проведена высота $ BD = 12 $. Отрезок основания $ AD = 5 $. Необходимо найти сторону $ AB $ и периметр $ P_{ABC} $. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ ABD $. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $ AB $: $ AB^2 = AD^2 + BD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 $. Значит, $ AB = \sqrt{169} = 13 $. Так как $ \triangle ABC $ равнобедренный, то $ BC=AB=13 $. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также и медианой, поэтому $ DC = AD = 5 $. Основание $ AC = AD+DC = 5+5 = 10 $. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон: $ P_{ABC} = AB + BC + AC = 13 + 13 + 10 = 36 $.
Ответ: $ AB = 13 $, $ P_{ABC} = 36 $.

к) Дан прямоугольный равнобедренный треугольник $ ABC $ с прямым углом $ C $ и катетом $ AC = 5\sqrt{2} $. $ CD $ - высота, проведенная к гипотенузе. Необходимо найти гипотенузу $ AB $ и высоту $ CD $. Так как треугольник равнобедренный, $ BC = AC = 5\sqrt{2} $. По теореме Пифагора найдем $ AB $: $ AB^2 = AC^2 + BC^2 = (5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 = 50 + 50 = 100 $. Значит, $ AB = \sqrt{100} = 10 $. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны $ 45^{\circ} $, то есть $ \angle A = 45^{\circ} $. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ ADC $. Синус угла $ A $ равен отношению противолежащего катета $ CD $ к гипотенузе $ AC $: $ \sin(\angle A) = \frac{CD}{AC} $. $ \sin(45^{\circ}) = \frac{CD}{5\sqrt{2}} $. Так как $ \sin(45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{CD}{5\sqrt{2}} $, откуда $ CD = \frac{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{10}{2} = 5 $.
Ответ: $ AB = 10 $, $ CD = 5 $.

л) В треугольнике $ ABC $ проведена высота $ BD $. Известны длины отрезков $ AD=12 $ и $ DC=30 $. Для решения задачи предположим, что $ \triangle ABC $ — прямоугольный с прямым углом при вершине $ B $. В этом случае $ BD $ является высотой, проведенной к гипотенузе. По свойству высоты прямоугольного треугольника, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $ BD^2 = AD \cdot DC = 12 \cdot 30 = 360 $. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ ABD $. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $ AB $: $ AB^2 = AD^2 + BD^2 = 12^2 + 360 = 144 + 360 = 504 $. $ AB = \sqrt{504} = \sqrt{36 \cdot 14} = 6\sqrt{14} $.
Ответ: $ 6\sqrt{14} $.

м) Дан прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $ B $. Гипотенуза $ AC = 37 $, катет $ BC = 35 $. Необходимо найти второй катет $ AB $. По теореме Пифагора $ AB^2 + BC^2 = AC^2 $. Выразим $ AB^2 $: $ AB^2 = AC^2 - BC^2 = 37^2 - 35^2 = 1369 - 1225 = 144 $. Следовательно, $ AB = \sqrt{144} = 12 $.
Ответ: 12.