Номер 30, страница 171 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

30. Заполните таблицу:

катет: 8, , 12, 40, , 1, 6, 2

катет: 6, 17, 35, 42, 15, $2\sqrt{6}$, $6\sqrt{3}$,

гипотенуза: , 15, , , 20, , , $10\sqrt{2}$

Для заполнения таблицы необходимо использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, которая гласит: сумма квадратов длин катетов ($a$ и $b$) равна квадрату длины гипотенузы ($c$). Формула: $a^2 + b^2 = c^2$. Из этой формулы можно найти любую из сторон, если известны две другие:
- Для нахождения гипотенузы: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
- Для нахождения катета: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ или $b = \sqrt{c^2 - a^2}$
Решим задачу для каждого столбца таблицы.

Столбец 1

Даны два катета: $a = 8$ и $b = 6$. Необходимо найти гипотенузу $c$.

Применяем теорему Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 6^2}$

$c = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100}$

$c = 10$

Ответ: 10

Столбец 2

Даны катет $b = 17$ и гипотенуза $c = 15$. Необходимо найти другой катет $a$.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой длинной стороной, то есть она должна быть длиннее каждого из катетов. В данном случае дано, что гипотенуза $c = 15$, а катет $b = 17$. Так как $15 < 17$, такое соотношение сторон в прямоугольном треугольнике невозможно.

Если формально применить теорему Пифагора для нахождения катета $a$:

$a^2 = c^2 - b^2 = 15^2 - 17^2$

$a^2 = 225 - 289 = -64$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, что подтверждает, что прямоугольный треугольник с такими сторонами не существует. Вероятно, в условии допущена опечатка.

Ответ: Решения не существует.

Столбец 3

Даны два катета: $a = 12$ и $b = 35$. Необходимо найти гипотенузу $c$.

Применяем теорему Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 35^2}$

$c = \sqrt{144 + 1225} = \sqrt{1369}$

$c = 37$

Ответ: 37

Столбец 4

Даны два катета: $a = 40$ и $b = 42$. Необходимо найти гипотенузу $c$.

Применяем теорему Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{40^2 + 42^2}$

$c = \sqrt{1600 + 1764} = \sqrt{3364}$

$c = 58$

Ответ: 58

Столбец 5

Даны катет $b = 15$ и гипотенуза $c = 20$. Необходимо найти катет $a$.

Применяем теорему Пифагора:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{20^2 - 15^2}$

$a = \sqrt{400 - 225} = \sqrt{175}$

Упростим корень: $a = \sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7}$

Ответ: $5\sqrt{7}$

Столбец 6

Даны два катета: $a = 1$ и $b = 2\sqrt{6}$. Необходимо найти гипотенузу $c$.

Применяем теорему Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{6})^2}$

$c = \sqrt{1 + 4 \cdot 6} = \sqrt{1 + 24} = \sqrt{25}$

$c = 5$

Ответ: 5

Столбец 7

Даны два катета: $a = 6$ и $b = 6\sqrt{3}$. Необходимо найти гипотенузу $c$.

Применяем теорему Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + (6\sqrt{3})^2}$

$c = \sqrt{36 + 36 \cdot 3} = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144}$

$c = 12$

Ответ: 12

Столбец 8

Даны катет $a = 2$ и гипотенуза $c = 10\sqrt{2}$. Необходимо найти катет $b$.

Применяем теорему Пифагора:

$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 - 2^2}$

$b = \sqrt{100 \cdot 2 - 4} = \sqrt{200 - 4} = \sqrt{196}$

$b = 14$

Ответ: 14