Номер 32, страница 171 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

32. Найдите неизвестные элементы многоугольника:

а) $x - ?$

б) $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$, $x - ?$

в) $x - ?$

г) $P_{ABCD} - ?$, $AO - ?$

д) $AC = 12$, $BD = 16$, $AB - ?$, $P_{ABCD} - ?$

е) $AB = 10$, $AC = 16$, $BD - ?$, $P_{ABCD} - ?$

ж) $x - ?$

з) $x - ?$

и) $AB - ?$, $P_{ABC} - ?$

к) $AC = 5\sqrt{2}$, $AB - ?$, $CD - ?$

а)

Рассмотрим несколько возможных интерпретаций неоднозначного чертежа. Наиболее вероятной, приводящей к единственному решению, является следующая: дана прямоугольная трапеция, у которой высота равна 7, большее основание равно 25, а диагональ, проведенная из вершины острого угла, перпендикулярна боковой стороне.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD || BC$. Пусть трапеция прямоугольная, с прямыми углами при вершинах $A$ и $B$. Тогда $AB$ — высота трапеции.Из условия имеем: $AB = 7$, $AD = 25$. Меньшее основание $BC = x$.По условию, диагональ $BD$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle BDC = 90^\circ$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$. По теореме Пифагора: $BC^2 + CD^2 = BD^2$.Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как $ABCD$ — прямоугольная трапеция с $\angle A = \angle B = 90^\circ$, то $ABCH$ — прямоугольник. Следовательно, $CH = AB = 7$ и $AH = BC = x$.Тогда отрезок $HD = AD - AH = 25 - x$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора: $CD^2 = CH^2 + HD^2 = 7^2 + (25 - x)^2 = 49 + (25-x)^2$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. По теореме Пифагора: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = 7^2 + 25^2 = 49 + 625 = 674$.Теперь подставим выражения для $CD^2$ и $BD^2$ в уравнение для треугольника $BDC$:$x^2 + (49 + (25-x)^2) = 674$$x^2 + 49 + 625 - 50x + x^2 = 674$$2x^2 - 50x + 674 = 674$$2x^2 - 50x = 0$$2x(x - 25) = 0$Так как $x$ — это длина стороны, $x \ne 0$. Следовательно, $x-25=0$, откуда $x=25$.Ответ: $x = 25$.

б)

На рисунке изображен параллелограмм $ABCD$, так как дано, что $AB || CD$ и $BC || AD$.Даны длины: сторона $AB=10$, сторона $BC=21$. Проведена высота $BH$ к стороне $AD$, $BH=8$. Необходимо найти длину диагонали $AC$, обозначенной как $x$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем катет $AH$:$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$$AH = \sqrt{36} = 6$.В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AD = BC = 21$.Найдем длину отрезка $HD$:$HD = AD - AH = 21 - 6 = 15$.Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. Искомая диагональ $BD$, обозначенная на чертеже как $x$, является его гипотенузой.По теореме Пифагора:$x^2 = BD^2 = BH^2 + HD^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$x = \sqrt{289} = 17$.*Примечание: на чертеже как $x$ обозначена диагональ $BD$, а не $AC$.*Ответ: $x = 17$.

в)

На рисунке изображен прямоугольник со сторонами 8 и 15. Неизвестная величина $x$ — это диагональ прямоугольника.Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Стороны прямоугольника являются катетами, а диагональ — гипотенузой.По теореме Пифагора:$x^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$x = \sqrt{289} = 17$.Ответ: $x = 17$.

г)

На рисунке изображен прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=36$ и $AD=27$. Диагонали пересекаются в точке $O$.Нужно найти периметр $P_{ABCD}$ и длину отрезка $AO$.1. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — его смежные стороны.$P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(36 + 27) = 2(63) = 126$.2. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Найдем длину диагонали $AC$, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ADC$ (где $DC=AB=36$):$AC^2 = AD^2 + DC^2 = 27^2 + 36^2 = 729 + 1296 = 2025$$AC = \sqrt{2025} = 45$.Отрезок $AO$ является половиной диагонали $AC$:$AO = \frac{AC}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$.Ответ: $P_{ABCD} = 126$, $AO = 22.5$.

д)

На рисунке изображен ромб $ABCD$, так как все его стороны отмечены как равные.Даны длины диагоналей: $AC = 12$ и $BD = 16$.Нужно найти длину стороны $AB$ и периметр $P_{ABCD}$.Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей.Тогда $AO = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ и $BO = \frac{BD}{2} = \frac{16}{2} = 8$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (угол $AOB=90^\circ$). Сторона ромба $AB$ является гипотенузой этого треугольника.По теореме Пифагора:$AB^2 = AO^2 + BO^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$AB = \sqrt{100} = 10$.Периметр ромба равен $P = 4a$, где $a$ — длина стороны.$P_{ABCD} = 4 \cdot AB = 4 \cdot 10 = 40$.Ответ: $AB = 10$, $P_{ABCD} = 40$.

е)

На рисунке изображен ромб, так как все четыре стороны отмечены равными штрихами.Дана длина стороны $AB = 10$ и длина одной диагонали $AC = 16$.Нужно найти длину второй диагонали $BD$ и периметр $P_{ABCD}$.1. Так как все стороны равны 10, периметр ромба:$P_{ABCD} = 4 \cdot 10 = 40$.2. Для нахождения второй диагонали воспользуемся свойством параллелограмма (и ромба в частности): сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.$AC^2 + BD^2 = 4 \cdot AB^2$$16^2 + BD^2 = 4 \cdot 10^2$$256 + BD^2 = 4 \cdot 100 = 400$$BD^2 = 400 - 256 = 144$$BD = \sqrt{144} = 12$.Ответ: $BD = 12$, $P_{ABCD} = 40$.

ж)

На рисунке изображен квадрат со стороной $a$. Неизвестная величина $x$ — это диагональ квадрата $d$.Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника.По теореме Пифагора для одного из этих треугольников:$x^2 = d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$x = d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.Ответ: $x = a\sqrt{2}$.

з)

На рисунке изображен квадрат со стороной $a$. Диагонали пересекаются в точке $O$. Неизвестная величина $x$ — это длина отрезка $BO$.Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.Длина всей диагонали $BD$ (из предыдущей задачи) равна $a\sqrt{2}$.Отрезок $BO$ является половиной диагонали $BD$.$x = BO = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.Ответ: $x = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

и)

Для решения данной задачи недостаточно данных.На чертеже изображена фигура, состоящая из прямоугольника $ABCH$ и прямоугольного треугольника $CHD$. Чтобы найти численные значения длины стороны $AB$ и периметра треугольника $ABC$, необходимо знать длину хотя бы одного из элементов фигуры (например, $AD$, $CD$, $CH$ и т.д.).В общем виде, если обозначить $AB=h$ и $BC=b$, то периметр прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle B=90^\circ$) выражается как:$P_{ABC} = AB + BC + AC = h + b + \sqrt{h^2+b^2}$.Без числовых значений найти ответ невозможно.Ответ: Недостаточно данных для решения.

к)

Для решения данной задачи недостаточно данных.Проанализируем чертеж:1. Фигура является трапецией, так как показаны высоты $BE$ и $CF$, характерные для этого четырехугольника.2. Равные углы при основании $A$ и $D$ ($\angle A = \angle D$) указывают на то, что трапеция равнобедренная. Следовательно, боковые стороны равны: $AB = CD$.3. Указан прямой угол при вершине $B$. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. То есть $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Если $\angle B = 90^\circ$, то и $\angle A = 90^\circ$.4. Так как трапеция равнобедренная, то $\angle D = \angle A = 90^\circ$ и $\angle C = \angle B = 90^\circ$.5. Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.Таким образом, из условий на чертеже следует, что $ABCD$ — прямоугольник. В прямоугольнике $AB = CD$. Нам нужно найти длину этих сторон. Дана только длина диагонали $AC = 5\sqrt{2}$.Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ и диагональю $d$ верно соотношение $a^2 + b^2 = d^2$.В нашем случае $AB^2 + BC^2 = AC^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50$.Мы имеем одно уравнение с двумя неизвестными ($AB$ и $BC$). Если фигура не является квадратом (т.е. $AB \ne BC$), то однозначно определить длину стороны $AB$ невозможно. Никаких данных, указывающих на то, что это квадрат, на чертеже нет.Ответ: Недостаточно данных для решения.