Номер 33, страница 172 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

33. Найдите значения функций:

a)

$\sin \alpha - ?$

$\cos \alpha - ?$

$\operatorname{tg} \alpha - ?$

$\operatorname{ctg} \alpha - ?$

б)

$\sin \alpha - ?$

$\cos \alpha - ?$

$\operatorname{tg} \alpha - ?$

$\operatorname{ctg} \alpha - ?$

в)

$\sin \beta - ?$

$\cos \beta - ?$

$\operatorname{tg} \beta - ?$

$\operatorname{ctg} \beta - ?$

г)

$\sin \beta - ?$

$\cos \beta - ?$

$\operatorname{tg} \beta - ?$

$\operatorname{ctg} \beta - ?$

а) Для нахождения значений тригонометрических функций угла $\alpha$ в данном прямоугольном треугольнике определим его стороны относительно этого угла:
- Противолежащий катет (сторона напротив угла $\alpha$) равен 5.
- Прилежащий катет (сторона, примыкающая к углу $\alpha$, но не являющаяся гипотенузой) равен 12.
- Гипотенуза (сторона напротив прямого угла) равна 13.
Теперь применим определения тригонометрических функций:
Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin \alpha = \frac{5}{13}$.
Косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos \alpha = \frac{12}{13}$.
Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{5}{12}$.
Котангенс угла – это отношение прилежащего катета к противолежащему: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{12}{5}$.
Ответ: $\sin \alpha = \frac{5}{13}, \cos \alpha = \frac{12}{13}, \operatorname{tg} \alpha = \frac{5}{12}, \operatorname{ctg} \alpha = \frac{12}{5}$.

б) В данном прямоугольном треугольнике определим стороны относительно угла $\alpha$:
- Противолежащий катет равен 40.
- Прилежащий катет равен 30.
- Гипотенуза равна 50.
Вычислим значения тригонометрических функций и сократим полученные дроби:
$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$.
$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$.
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$.
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\sin \alpha = \frac{4}{5}, \cos \alpha = \frac{3}{5}, \operatorname{tg} \alpha = \frac{4}{3}, \operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{4}$.

в) Рассмотрим прямоугольный треугольник, содержащий угол $\beta$. В нем известны:
- Прилежащий катет = 4.
- Гипотенуза = 6.
Противолежащий катет неизвестен. Найдем его длину по теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Обозначим противолежащий катет через $x$.
$4^2 + x^2 = 6^2$
$16 + x^2 = 36$
$x^2 = 36 - 16 = 20$
$x = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Теперь, когда известны все стороны (противолежащий катет $2\sqrt{5}$, прилежащий катет 4, гипотенуза 6), вычислим значения тригонометрических функций:
$\sin \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
$\cos \beta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$\operatorname{tg} \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$\operatorname{ctg} \beta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\sin \beta = \frac{\sqrt{5}}{3}, \cos \beta = \frac{2}{3}, \operatorname{tg} \beta = \frac{\sqrt{5}}{2}, \operatorname{ctg} \beta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

г) В данном прямоугольном треугольнике для угла $\beta$ известны все три стороны:
- Противолежащий катет равен 3.
- Прилежащий катет равен $3\sqrt{3}$.
- Гипотенуза равна 6.
(Проверим по теореме Пифагора: $3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 9 \cdot 3 = 9 + 27 = 36 = 6^2$. Верно.)
Находим значения тригонометрических функций, упрощая выражения:
$\sin \beta = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
$\cos \beta = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\operatorname{tg} \beta = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\operatorname{ctg} \beta = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sin \beta = \frac{1}{2}, \cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \operatorname{tg} \beta = \frac{\sqrt{3}}{3}, \operatorname{ctg} \beta = \sqrt{3}$.