Номер 40, страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

40. Заполните таблицу:

$a$: , 3, , 30, , $17\sqrt{3}$

$b$: , , 8, , $4\sqrt{2}$,

$c$: , 2, , 60, 8, 34

$\alpha$: , $45^\circ$, , $60^\circ$, ,

$\beta$: , , $30^\circ$, , ,

Для решения задачи воспользуемся основными соотношениями в прямоугольном треугольнике: теоремой Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$, свойством острых углов $\alpha + \beta = 90^\circ$ и тригонометрическими функциями: $\sin \alpha = a/c$, $\cos \alpha = b/c$, $\tan \alpha = a/b$.

Решение для столбца 1

Дано: $c = 2$, $\alpha = 45^\circ$.

1. Найдём угол $\beta$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

2. Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ равны, треугольник является равнобедренным, следовательно, катеты $a$ и $b$ равны: $a = b$.

3. Найдём катет $a$ по формуле $a = c \cdot \sin \alpha$.

$a = 2 \cdot \sin 45^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

4. Так как $a = b$, то $b = \sqrt{2}$.

Ответ: $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{2}$, $\beta = 45^\circ$.

Решение для столбца 2

Дано: $a = 3$, $\beta = 30^\circ$.

1. Найдём угол $\alpha$: $\alpha = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. Найдём катет $b$ через тангенс угла $\beta$: $\tan \beta = b/a$.

$b = a \cdot \tan \beta = 3 \cdot \tan 30^\circ = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

3. Найдём гипотенузу $c$ через косинус угла $\beta$: $\cos \beta = a/c$.

$c = \frac{a}{\cos \beta} = \frac{3}{\cos 30^\circ} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $b = \sqrt{3}$, $c = 2\sqrt{3}$, $\alpha = 60^\circ$.

Решение для столбца 3

Дано: $b = 8$, $\alpha = 60^\circ$.

1. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

2. Найдём катет $a$ через тангенс угла $\alpha$: $\tan \alpha = a/b$.

$a = b \cdot \tan \alpha = 8 \cdot \tan 60^\circ = 8\sqrt{3}$.

3. Найдём гипотенузу $c$ через косинус угла $\alpha$: $\cos \alpha = b/c$.

$c = \frac{b}{\cos \alpha} = \frac{8}{\cos 60^\circ} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16$.

Ответ: $a = 8\sqrt{3}$, $c = 16$, $\beta = 30^\circ$.

Решение для столбца 4

Дано: $a = 30$, $c = 60$.

1. Найдём угол $\alpha$ через синус: $\sin \alpha = a/c$.

$\sin \alpha = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\alpha = 30^\circ$.

2. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

3. Найдём катет $b$ по теореме Пифагора: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$.

$b = \sqrt{60^2 - 30^2} = \sqrt{3600 - 900} = \sqrt{2700} = \sqrt{900 \cdot 3} = 30\sqrt{3}$.

Ответ: $b = 30\sqrt{3}$, $\alpha = 30^\circ$, $\beta = 60^\circ$.

Решение для столбца 5

Дано: $b = 4\sqrt{2}$, $c = 8$.

1. Найдём катет $a$ по теореме Пифагора: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.

$a = \sqrt{8^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 - 16 \cdot 2} = \sqrt{64 - 32} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

2. Так как $a = b = 4\sqrt{2}$, треугольник является равнобедренным, следовательно, углы $\alpha$ и $\beta$ равны: $\alpha = \beta$.

3. Поскольку $\alpha + \beta = 90^\circ$ и $\alpha = \beta$, то $2\alpha = 90^\circ$, откуда $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 45^\circ$.

Ответ: $a = 4\sqrt{2}$, $\alpha = 45^\circ$, $\beta = 45^\circ$.

Решение для столбца 6

Дано: $a = 17\sqrt{3}$, $c = 34$.

1. Найдём угол $\alpha$ через синус: $\sin \alpha = a/c$.

$\sin \alpha = \frac{17\sqrt{3}}{34} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $\alpha = 60^\circ$.

2. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

3. Найдём катет $b$ по теореме Пифагора: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$.

$b = \sqrt{34^2 - (17\sqrt{3})^2} = \sqrt{1156 - 289 \cdot 3} = \sqrt{1156 - 867} = \sqrt{289} = 17$.

Ответ: $b = 17$, $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 30^\circ$.