Номер 43, страница 177 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

43. Дан ромб $ABCD$ с тупым углом $B$, равным $120^\circ$, и стороной $AB = 6$. Найдите диагонали ромба.

а) 6 и $6\sqrt{3}$;

б) 6 и $3\sqrt{3}$;

в) 3 и $6\sqrt{3}$;

г) 6 и $12\sqrt{3}$;

д) другой ответ.

По условию задачи дан ромб $ABCD$ со стороной $AB=6$ и тупым углом $\angle B = 120^\circ$. Необходимо найти длины его диагоналей $AC$ и $BD$.

Свойства ромба, которые мы будем использовать:

• Все стороны ромба равны: $AB = BC = CD = DA = 6$.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

1. Найдем острый угол ромба.

Угол $\angle A$ смежный с углом $\angle B$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$.

$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Найдем длину диагонали $BD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Две его стороны $AB$ и $AD$ равны 6, а угол между ними $\angle A = 60^\circ$. Такой треугольник является равнобедренным. Углы при основании $BD$ равны: $\angle ABD = \angle ADB = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все углы треугольника $ABD$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Это значит, что все его стороны равны.

$BD = AB = AD = 6$.

Таким образом, длина меньшей диагонали равна 6.

3. Найдем длину диагонали $AC$.

Для нахождения второй диагонали $AC$ применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$. В нем стороны $AB=6$, $BC=6$ и угол между ними $\angle B = 120^\circ$.

По теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)$

Используя значение $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:

$AC^2 = 36 + 36 - 72 \cdot (-\frac{1}{2}) = 72 + 36 = 108$

Отсюда находим длину $AC$:

$AC = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$.

Таким образом, длина большей диагонали равна $6\sqrt{3}$.

Итак, диагонали ромба равны 6 и $6\sqrt{3}$. Сравнивая с вариантами ответа, выбираем подходящий.

Ответ: а) 6 и $6\sqrt{3}$