Номер 48, страница 178 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Заполните пропуски (48–54).

48. Медианы $BM$ и $AN$ равностороннего треугольника пересекаются в точке $O$. Если $AB = 12$ см, то $BO$ и $ON$ соответственно равны ....

48.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB = BC = AC = 12$ см. Медианы $BM$ и $AN$ пересекаются в точке $O$.

1. В равностороннем треугольнике медиана является одновременно высотой и биссектрисой. Это означает, что все три медианы равны по длине. Найдем длину одной из них, например, медианы $AN$.

2. Поскольку $AN$ — медиана, проведенная к стороне $BC$, она делит эту сторону пополам. Следовательно, $BN = NC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

3. Так как медиана $AN$ также является высотой, треугольник $ANC$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $N$ ($\angle ANC = 90^\circ$).

4. Применим теорему Пифагора к треугольнику $ANC$, где $AC$ — гипотенуза, а $AN$ и $NC$ — катеты:

$AC^2 = AN^2 + NC^2$

$12^2 = AN^2 + 6^2$

$144 = AN^2 + 36$

$AN^2 = 144 - 36 = 108$

$AN = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

5. Так как все медианы в равностороннем треугольнике равны, то длина медианы $BM$ также равна $6\sqrt{3}$ см.

6. Точка пересечения медиан треугольника (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Это означает, что $BO : OM = 2:1$ и $AO : ON = 2:1$.

7. Используя это свойство, вычислим длины отрезков $BO$ и $ON$:

Отрезок $BO$ составляет $\frac{2}{3}$ от всей длины медианы $BM$:

$BO = \frac{2}{3} \cdot BM = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Отрезок $ON$ составляет $\frac{1}{3}$ от всей длины медианы $AN$:

$ON = \frac{1}{3} \cdot AN = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см и $2\sqrt{3}$ см.