Номер 51, страница 178 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

51. Если в равнобедренном треугольнике $ABC$ с углом при вершине $B$, равным $120^\circ$, проведена высота $CD = 3$ см, то боковая сторона $AB$ равна ... см.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с вершиной в точке $B$, его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Так как угол при вершине $\angle ABC = 120^\circ$ является тупым, высота $CD$, проведенная из вершины $C$ к боковой стороне $AB$, опускается на продолжение этой стороны за точку $B$. В результате образуется прямоугольный треугольник $CDB$ с прямым углом $\angle CDB = 90^\circ$.

Угол $\angle CBD$ и угол $\angle ABC$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle CBD$:
$\angle CBD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDB$. В нем известен катет $CD = 3$ см, который лежит напротив угла $\angle CBD = 60^\circ$. Гипотенуза $BC$ этого треугольника является боковой стороной исходного треугольника $ABC$.

Воспользуемся определением синуса для нахождения гипотенузы $BC$:
$\sin(\angle CBD) = \frac{CD}{BC}$
Подставим известные значения:
$\sin(60^\circ) = \frac{3}{BC}$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{BC}$

Выразим $BC$:
$BC = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$
Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$BC = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Поскольку $AB = BC$ по определению равнобедренного треугольника, то искомая боковая сторона $AB$ также равна $2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$