Номер 54, страница 178 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

54. Если $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}$, то $\text{ctg } \alpha = \dots$, $\text{cos } \alpha = \dots$, $\text{sin } \alpha = \dots$

ctg α

Котангенс является величиной, обратной тангенсу. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $ \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} $.

Подставим известное значение $ \text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2} $:

$ \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{21}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{21} $:

$ \text{ctg } \alpha = \frac{2 \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21} $

Ответ: $ \frac{2\sqrt{21}}{21} $

cos α

Чтобы найти косинус, воспользуемся тождеством, связывающим тангенс и косинус: $ 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $.

Подставим значение тангенса:

$ 1 + \left(\frac{\sqrt{21}}{2}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

$ 1 + \frac{21}{4} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

$ \frac{4}{4} + \frac{21}{4} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

$ \frac{25}{4} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

Отсюда выразим $ \cos^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha = \frac{4}{25} $

Извлечем квадратный корень. Так как в условии не указана четверть, в которой находится угол $ \alpha $, а тангенс положителен в I и III четвертях, косинус может быть как положительным (в I четверти), так и отрицательным (в III четверти).

$ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{4}{25}} = \pm\frac{2}{5} $

Ответ: $ \pm\frac{2}{5} $

sin α

Для нахождения синуса используем определение тангенса: $ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, откуда $ \sin \alpha = \text{tg } \alpha \cdot \cos \alpha $.

Значение синуса зависит от знака косинуса. Так как $ \text{tg } \alpha > 0 $, знаки $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $ должны совпадать.

1. Если угол $ \alpha $ находится в I четверти, то $ \cos \alpha = \frac{2}{5} $.

$ \sin \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{\sqrt{21}}{5} $

2. Если угол $ \alpha $ находится в III четверти, то $ \cos \alpha = -\frac{2}{5} $.

$ \sin \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{\sqrt{21}}{5} $

Таким образом, синус также может принимать два значения, которые соответствуют знакам косинуса.

Ответ: $ \pm\frac{\sqrt{21}}{5} $