Номер 59, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

59. Высота трапеции равна 8 см. Найдите основания трапеции, если:

а) они относятся как 1 : 5, а ее площадь равна $24\text{ см}^2$;

б) их разность равна 6 см, а площадь трапеции – $56\text{ см}^2$.

а) Для решения задачи воспользуемся формулой площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота. По условию, высота $h = 8$ см, а площадь $S = 24$ см². Основания относятся как $1 : 5$. Пусть меньшее основание $a = x$ см, тогда большее основание $b = 5x$ см. Подставим известные значения в формулу площади: $24 = \frac{x + 5x}{2} \cdot 8$ Упростим уравнение: $24 = \frac{6x}{2} \cdot 8$ $24 = 3x \cdot 8$ $24 = 24x$ Отсюда находим $x$: $x = \frac{24}{24} = 1$ Таким образом, меньшее основание $a = 1$ см. Большее основание $b = 5x = 5 \cdot 1 = 5$ см. Проверим: $S = \frac{1+5}{2} \cdot 8 = \frac{6}{2} \cdot 8 = 3 \cdot 8 = 24$ см². Условие выполняется.
Ответ: основания трапеции равны 1 см и 5 см.

б) Используем ту же формулу площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. По условию, высота $h = 8$ см, площадь $S = 56$ см², а разность оснований равна 6 см. Пусть меньшее основание равно $a$ см, тогда большее основание $b = a + 6$ см. Подставим известные значения в формулу: $56 = \frac{a + (a + 6)}{2} \cdot 8$ Упростим уравнение: $56 = \frac{2a + 6}{2} \cdot 8$ $56 = (a + 3) \cdot 8$ Разделим обе части уравнения на 8: $7 = a + 3$ Отсюда находим $a$: $a = 7 - 3 = 4$ Таким образом, меньшее основание $a = 4$ см. Большее основание $b = a + 6 = 4 + 6 = 10$ см. Проверим: $S = \frac{4+10}{2} \cdot 8 = \frac{14}{2} \cdot 8 = 7 \cdot 8 = 56$ см². Условие выполняется.
Ответ: основания трапеции равны 4 см и 10 см.